多角度解決高考題中平面向量問題

胡小平

教師上課前，都要求寫備課計劃，上課時按計劃進行教學.進行公開課教學評價時也將教學計劃是否完成做為評價標準之一.但課堂教學計劃一定要當堂完成嗎？今天的一節復習課讓我明白了課堂教學計劃應該圍繞學生的思維活動進行相應的調整，只要是有利于學生提高學習能力的課堂，即使教學計劃受到影響，同樣也是一節成功的課.

2013年10月18日下午第一節課，我在高三（1）班復習平面向量基本定理，課堂的前半部分一切按計劃正常地進行著，順利地完成了平面向量基本定理的復習和兩道例題的講評，而第三題拋出之后，情況發生了很大的變化，在讓學生獨立思考之后，提問學生的解題方法時，大大出乎我的意料，教學計劃中我只準備了兩種常見的解題方法，而學生你一言我一語爭相發言，一道四年前普普通通的高考題頓時變得生動起來.

題目 （2009年安徽理14）給定兩個長度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為120°.如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧AB上變動，若OC=xOA+yOB其中x，y∈R，則x+y的最大值是.

解析 設∠AOC=α，

OC·OA=xOA·OA+yOB·OA，

OC·OB=xOA·OB+yOB·OB，

即cosα=x-12y，

cos（120°-α）=-12x+y.

∴x+y=2[cosα+cos（120°-α）]=cosα+3sinα=2sin（α+π6）≤2.

這是高考參考答案，為了讓學生能有自已的想法，我并沒有在給出題目之后直接講解，而是讓學生自已獨立思考并解答，再提問學生，結合學生的方法進行講解.發現除參考答案以外還有很多巧妙的方法，總結如下.

方法一：吳麗君同學作法

如圖，做CE∥OA，CD∥OB交OA延長線于D.在△OCD中，設∠AOC=θ，由正弦定理可知： ODsin∠OCD=DCsinθ=COsin60°.

所以x+y=OD+DC=sin（θ+60°）sin60°+sinθsin60°=2sin（θ+30°），0°<θ<120°，當θ=60°時，（x+y）max=2.

方法二：黃雨婷同學作法

以O點為坐標原點，設∠AOC=θ，所以A（1，0），B（-12，32），C（cosθ，sinθ）

.因為OC=xOA+yOB，所以

x-12y=cosθ，

32y=sinθ （1）

（2）

x=cosθ+33sinθ，

y=233sinθ.

所以x+y=cosθ+3sinθ=2sin（θ+

π6），0<θ<2π3.

當θ=π6時，（x+y）max=2.

注：（1）（2）式平方相加可以得到方法三的（3）式，再用不等式

求x+y的最大值.

方法三：鄭悅同學作法

將OC=xOA+yOB兩邊同時平方得：

|OC|2=x2|OA|2+y2|OB|+2xyOA·OB，化簡得：

1=x2+y2-xy，（3）

（x+y）2-1=3xy.

因為xy≤x+y2，所以3xy≤3（x+y）24，所以（x+y）2-1≤3（x+y）24，故（x+y）2≤4，（x+y）max =2.

方法四：章新穎同學作法

連接AB， OC相交于E點，設OE=aOA+bOB，因為A ， B ， E 三點共線，所以有a+b=1.

OC=tOE=t（aOA+bOB）=taOA+tbOB，

所以x+y=ta+tb=t（a+b）=t.

故當t取最大值時，x+y取最大.又因為t=|OC||OE|=1|OE|，所以當|OE|取最小時，t取最大值.

即OE⊥AB時|OE|取最小，此時，∠AOE=12∠AOB=60°，OE=OAcos60°=12，所以tmax=1|OE|min，即（x+y）max=2.

方法五：李奇同學作法

過C作OB的平行線交OA于D，所以DO=x，DC=y，∠ODC=60°，OC=1，由余弦定理可得：cos60°=x2+y2-12xy=12，化簡得：（x+y）2-1=3xy.（以下同方法三，略）

綜上可見：學生在獨立思考后所展現的力量非常大，先后運用了正弦定理、余弦定理、平面向量的坐標運算、三點共線性質、點到直線最短距離、不等式等知識點，從多個角度很好地解決了這道高考填空題.當然，本節課我的教學計劃沒有得以完成，但尊重學生的思維活動，讓學生暢所欲言，使全體同學所獲得的知識更多更全面.這是一節沒有完成教學計劃但卻超額完成計劃的復習課.

教師上課前，都要求寫備課計劃，上課時按計劃進行教學.進行公開課教學評價時也將教學計劃是否完成做為評價標準之一.但課堂教學計劃一定要當堂完成嗎？今天的一節復習課讓我明白了課堂教學計劃應該圍繞學生的思維活動進行相應的調整，只要是有利于學生提高學習能力的課堂，即使教學計劃受到影響，同樣也是一節成功的課.

2013年10月18日下午第一節課，我在高三（1）班復習平面向量基本定理，課堂的前半部分一切按計劃正常地進行著，順利地完成了平面向量基本定理的復習和兩道例題的講評，而第三題拋出之后，情況發生了很大的變化，在讓學生獨立思考之后，提問學生的解題方法時，大大出乎我的意料，教學計劃中我只準備了兩種常見的解題方法，而學生你一言我一語爭相發言，一道四年前普普通通的高考題頓時變得生動起來.

題目 （2009年安徽理14）給定兩個長度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為120°.如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧AB上變動，若OC=xOA+yOB其中x，y∈R，則x+y的最大值是.

解析 設∠AOC=α，

OC·OA=xOA·OA+yOB·OA，

OC·OB=xOA·OB+yOB·OB，

即cosα=x-12y，

cos（120°-α）=-12x+y.

∴x+y=2[cosα+cos（120°-α）]=cosα+3sinα=2sin（α+π6）≤2.

這是高考參考答案，為了讓學生能有自已的想法，我并沒有在給出題目之后直接講解，而是讓學生自已獨立思考并解答，再提問學生，結合學生的方法進行講解.發現除參考答案以外還有很多巧妙的方法，總結如下.

方法一：吳麗君同學作法

如圖，做CE∥OA，CD∥OB交OA延長線于D.在△OCD中，設∠AOC=θ，由正弦定理可知： ODsin∠OCD=DCsinθ=COsin60°.

所以x+y=OD+DC=sin（θ+60°）sin60°+sinθsin60°=2sin（θ+30°），0°<θ<120°，當θ=60°時，（x+y）max=2.

方法二：黃雨婷同學作法

以O點為坐標原點，設∠AOC=θ，所以A（1，0），B（-12，32），C（cosθ，sinθ）

.因為OC=xOA+yOB，所以

x-12y=cosθ，

32y=sinθ （1）

（2）

x=cosθ+33sinθ，

y=233sinθ.

所以x+y=cosθ+3sinθ=2sin（θ+

π6），0<θ<2π3.

當θ=π6時，（x+y）max=2.

注：（1）（2）式平方相加可以得到方法三的（3）式，再用不等式

求x+y的最大值.

方法三：鄭悅同學作法

將OC=xOA+yOB兩邊同時平方得：

|OC|2=x2|OA|2+y2|OB|+2xyOA·OB，化簡得：

1=x2+y2-xy，（3）

（x+y）2-1=3xy.

因為xy≤x+y2，所以3xy≤3（x+y）24，所以（x+y）2-1≤3（x+y）24，故（x+y）2≤4，（x+y）max =2.

方法四：章新穎同學作法

連接AB， OC相交于E點，設OE=aOA+bOB，因為A ， B ， E 三點共線，所以有a+b=1.

OC=tOE=t（aOA+bOB）=taOA+tbOB，

所以x+y=ta+tb=t（a+b）=t.

故當t取最大值時，x+y取最大.又因為t=|OC||OE|=1|OE|，所以當|OE|取最小時，t取最大值.

即OE⊥AB時|OE|取最小，此時，∠AOE=12∠AOB=60°，OE=OAcos60°=12，所以tmax=1|OE|min，即（x+y）max=2.

方法五：李奇同學作法

過C作OB的平行線交OA于D，所以DO=x，DC=y，∠ODC=60°，OC=1，由余弦定理可得：cos60°=x2+y2-12xy=12，化簡得：（x+y）2-1=3xy.（以下同方法三，略）

綜上可見：學生在獨立思考后所展現的力量非常大，先后運用了正弦定理、余弦定理、平面向量的坐標運算、三點共線性質、點到直線最短距離、不等式等知識點，從多個角度很好地解決了這道高考填空題.當然，本節課我的教學計劃沒有得以完成，但尊重學生的思維活動，讓學生暢所欲言，使全體同學所獲得的知識更多更全面.這是一節沒有完成教學計劃但卻超額完成計劃的復習課.

教師上課前，都要求寫備課計劃，上課時按計劃進行教學.進行公開課教學評價時也將教學計劃是否完成做為評價標準之一.但課堂教學計劃一定要當堂完成嗎？今天的一節復習課讓我明白了課堂教學計劃應該圍繞學生的思維活動進行相應的調整，只要是有利于學生提高學習能力的課堂，即使教學計劃受到影響，同樣也是一節成功的課.

2013年10月18日下午第一節課，我在高三（1）班復習平面向量基本定理，課堂的前半部分一切按計劃正常地進行著，順利地完成了平面向量基本定理的復習和兩道例題的講評，而第三題拋出之后，情況發生了很大的變化，在讓學生獨立思考之后，提問學生的解題方法時，大大出乎我的意料，教學計劃中我只準備了兩種常見的解題方法，而學生你一言我一語爭相發言，一道四年前普普通通的高考題頓時變得生動起來.

題目 （2009年安徽理14）給定兩個長度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為120°.如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧AB上變動，若OC=xOA+yOB其中x，y∈R，則x+y的最大值是.

解析 設∠AOC=α，

OC·OA=xOA·OA+yOB·OA，

OC·OB=xOA·OB+yOB·OB，

即cosα=x-12y，

cos（120°-α）=-12x+y.

∴x+y=2[cosα+cos（120°-α）]=cosα+3sinα=2sin（α+π6）≤2.

這是高考參考答案，為了讓學生能有自已的想法，我并沒有在給出題目之后直接講解，而是讓學生自已獨立思考并解答，再提問學生，結合學生的方法進行講解.發現除參考答案以外還有很多巧妙的方法，總結如下.

方法一：吳麗君同學作法

如圖，做CE∥OA，CD∥OB交OA延長線于D.在△OCD中，設∠AOC=θ，由正弦定理可知： ODsin∠OCD=DCsinθ=COsin60°.

所以x+y=OD+DC=sin（θ+60°）sin60°+sinθsin60°=2sin（θ+30°），0°<θ<120°，當θ=60°時，（x+y）max=2.

方法二：黃雨婷同學作法

以O點為坐標原點，設∠AOC=θ，所以A（1，0），B（-12，32），C（cosθ，sinθ）

.因為OC=xOA+yOB，所以

x-12y=cosθ，

32y=sinθ （1）

（2）

x=cosθ+33sinθ，

y=233sinθ.

所以x+y=cosθ+3sinθ=2sin（θ+

π6），0<θ<2π3.

當θ=π6時，（x+y）max=2.

注：（1）（2）式平方相加可以得到方法三的（3）式，再用不等式

求x+y的最大值.

方法三：鄭悅同學作法

將OC=xOA+yOB兩邊同時平方得：

|OC|2=x2|OA|2+y2|OB|+2xyOA·OB，化簡得：

1=x2+y2-xy，（3）

（x+y）2-1=3xy.

因為xy≤x+y2，所以3xy≤3（x+y）24，所以（x+y）2-1≤3（x+y）24，故（x+y）2≤4，（x+y）max =2.

方法四：章新穎同學作法

連接AB， OC相交于E點，設OE=aOA+bOB，因為A ， B ， E 三點共線，所以有a+b=1.

OC=tOE=t（aOA+bOB）=taOA+tbOB，

所以x+y=ta+tb=t（a+b）=t.

故當t取最大值時，x+y取最大.又因為t=|OC||OE|=1|OE|，所以當|OE|取最小時，t取最大值.

即OE⊥AB時|OE|取最小，此時，∠AOE=12∠AOB=60°，OE=OAcos60°=12，所以tmax=1|OE|min，即（x+y）max=2.

方法五：李奇同學作法

過C作OB的平行線交OA于D，所以DO=x，DC=y，∠ODC=60°，OC=1，由余弦定理可得：cos60°=x2+y2-12xy=12，化簡得：（x+y）2-1=3xy.（以下同方法三，略）

綜上可見：學生在獨立思考后所展現的力量非常大，先后運用了正弦定理、余弦定理、平面向量的坐標運算、三點共線性質、點到直線最短距離、不等式等知識點，從多個角度很好地解決了這道高考填空題.當然，本節課我的教學計劃沒有得以完成，但尊重學生的思維活動，讓學生暢所欲言，使全體同學所獲得的知識更多更全面.這是一節沒有完成教學計劃但卻超額完成計劃的復習課.