圓錐曲線參數方程在高中數學解題中的應用

毛芹

在高中數學教學中，重要的一部分內容就是圓錐曲線.圓錐曲線方程的解析方法、代數方法在平面曲線等方面發揮著強大的作用，圓錐曲線參數方程在高中數學解題中的應用體現了數形結合思想.只要是和圓錐曲線相關的問題，都可以使用圓錐曲線方程進行解題.我們在本文中對圓錐曲線參數方程在高中數學解題中的應用進行研究分析.

我們知道高中數學教學中涉及到的圓錐曲線參數方程分為5類：直線參數方程、圓參數方程、橢圓參數方程、雙曲線參數方程、拋物線參數方程.圓錐曲線參數方程在高中數學學習中所占的比重較大，通過圓錐曲線參數方

程可以解決常見的問題，例如定值、最值、范圍、軌跡等問題.這些是高中數學中最常見的問題，也是在數學題中占據比例較大的問題.我們以示例作為探究基礎，對圓錐曲線參數方程在高中數學解題中的應用進行研究.

1.利用圓錐曲線參數方程解決高中數學中遇到的最值問題

例1 橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0），橢圓一個內接四邊形ABCD，其各邊和坐標軸平行，求這個四邊形的最大面積和最大周長.

解析 根據題意設A（acosθ，bsinθ），由四邊形的各邊和坐標軸平行，我們可以得知四邊形ABCD是一個矩形，則其面積為S=4（acosθ×bsinθ）=2absin2θ. S為最大值時，sin2θ為最大值，sin2θ為最大值，其最大值為1，當sin2θ=1時，S=2ab.四邊形ABCD的周長為L=4（bsinθ+acosθ）=4（a2+b2）

1/2sin（θ+β）.

sinβ=a÷（a2+b2）1/2，cosβ=b÷（a2+b2）1/2.當sin（θ+β）最大時，四邊形的周長最大，即sin（θ+β）=1，Lmax=4（a2+b2）1/2.

從這題的解析中我們不難發現其中使用到的圓錐曲線參數方程是橢圓參數方程，圓錐曲線參數方程在這個例題中的使用，主要是解決最值問題.

2.利用圓錐曲線參數方程解決高中數學中遇到的定值問題

例2 證明雙曲線上的任意一點到兩條漸近線的距離是一個定值.雙曲線方程為

x2a2+y2b2=1（a>b>0）.

證明 將雙曲線上一點坐標設置為Q（asecθ，btanθ），雙曲線的兩條漸近線方程分別為：

bx+ay=0； bx-ay=0.則雙曲線上的Q點到兩條漸近線的距離為d1=（absecθ+abtanθ）÷（a2+b2）1/2，d2=（absecθ-abtanθ）÷（a2+b2）1/2，d1d2=a2b2（sec2θ-tan2θ）÷（a2+b2）=a2b2÷（a2+b2）為定值.

從這個例題中我們看出使用的是圓錐曲線參數方程中的雙曲線參數方程，從這個問題中我們可以看出，圓錐曲線參數方程可以解決高中數學中遇到的定值問題.

3.利用圓錐曲線參數方程解決高中數學中遇到的軌跡問題

例3 在拋物線y2=2px（p>0）上的兩個動點A，B滿足OA ⊥OB，求弦AB中點M的軌跡方程.

解析 從題中的方程式進行分析，我們可以知道該方程為拋物線方程，所以我們將A的坐

標設為（2pt2，2pt），由OA⊥OB可以得出B點坐標為（2pt2，-2pt），將弦AB上的中點M坐標設置為（x，y），由此可以得出M點的運動軌跡方程.

M點的軌跡方程為x=p（t2+1t2），

y=p（t-1t）.

消去t得y2p2-xp=-2.因此可以得出弦AB中點M的軌跡方程為y2=p（x-2p）.

從該題進行分析，其中運用到的圓錐曲線參數方程為拋物線參數方程.想要將動點軌跡方程進行求解，需要使用參數方程，例題3中得出的M點運動軌跡方程為參數方程.

4.利用圓錐曲線參數方程解決高中數學中遇到的范圍問題

例4 橢圓方程x2a2+y2b2=1（a>b>0）和坐標軸的x正半軸相交，交點為A，

假設橢圓方程上始終有一點P，使得OP⊥PA，求橢圓離心率的范圍.

解析 由題意可知A點的坐標為（a，0）.設橢圓上的點P坐標為（acosθ，bsinθ）.根據OP⊥PA可知：

bsinθacosθ

× bsinθacosθ-a=-1

，進一步將上式化簡得出：

b2a2=1-11+cosθ

.因為OP⊥PA，進而得知0

b2=a2-c2，所以得出橢圓離心率e的取值范圍為

21/22

例題4中涉及到的問題是范圍問題，應用到的圓錐曲線參數方程是橢圓參數方程.

在高中數學中求范圍的題所占的比例也很大，圓錐曲線參數方程在高中數學中的應用非常廣泛，我們將其進行綜合分析，圓錐曲線參數方程在高中數學中的應用，也就是求解最值、定值、點的運動軌跡方程、取值范圍等，不管是圓錐曲線參數方程在5種參數方程的哪一種，在高中數學的應用都是相對較多的，所以圓錐曲線參數方程在高中數學中屬于重點，也屬于難點，需要學生認真的學習，針對相應的問題，深入的思考，采用合適的參數方程，才可以快速地解決數學問題，節約解題時間.在使用圓錐曲線方程進行解題的過程中，不能盲目地解題，需要鍛煉解題思維，鍛煉數學思維，在遇到數學問題時，就會沉著應對.通過將曲線方程轉化為參數方程，將題的難度降低，運用數學思維解決問題，提高解題效率.

的優缺點，提升思維水平，這也從另一個方面強化了知識結構.

2.注重培養學生規范書寫的習慣

對于規范書寫，怎么強調都不過分.教師在平時的教學過程中，花點時間讓學生練習規范書寫也是值得的， 對于一道題， 可以嘗試讓學生多寫幾遍，最終再與比較規范的書寫對照， 找出問題所在， 反復練習，最終使學生潛移默化地養成規范書寫的習慣.筆者在二輪復習中，對于立體幾何題目，一般都是讓學生先獨立完成，之后同桌互評，了解不同的方法.然后挑幾個典型供大家分析、學習、欣賞，讓學生來點評，找出其中的優缺點，最后假設自己是閱卷老師進行打分，從而促進學生眼中有圖，腦中有路，心中有數.

在高中數學教學中，重要的一部分內容就是圓錐曲線.圓錐曲線方程的解析方法、代數方法在平面曲線等方面發揮著強大的作用，圓錐曲線參數方程在高中數學解題中的應用體現了數形結合思想.只要是和圓錐曲線相關的問題，都可以使用圓錐曲線方程進行解題.我們在本文中對圓錐曲線參數方程在高中數學解題中的應用進行研究分析.

我們知道高中數學教學中涉及到的圓錐曲線參數方程分為5類：直線參數方程、圓參數方程、橢圓參數方程、雙曲線參數方程、拋物線參數方程.圓錐曲線參數方程在高中數學學習中所占的比重較大，通過圓錐曲線參數方

程可以解決常見的問題，例如定值、最值、范圍、軌跡等問題.這些是高中數學中最常見的問題，也是在數學題中占據比例較大的問題.我們以示例作為探究基礎，對圓錐曲線參數方程在高中數學解題中的應用進行研究.

1.利用圓錐曲線參數方程解決高中數學中遇到的最值問題

例1 橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0），橢圓一個內接四邊形ABCD，其各邊和坐標軸平行，求這個四邊形的最大面積和最大周長.

解析 根據題意設A（acosθ，bsinθ），由四邊形的各邊和坐標軸平行，我們可以得知四邊形ABCD是一個矩形，則其面積為S=4（acosθ×bsinθ）=2absin2θ. S為最大值時，sin2θ為最大值，sin2θ為最大值，其最大值為1，當sin2θ=1時，S=2ab.四邊形ABCD的周長為L=4（bsinθ+acosθ）=4（a2+b2）

1/2sin（θ+β）.

sinβ=a÷（a2+b2）1/2，cosβ=b÷（a2+b2）1/2.當sin（θ+β）最大時，四邊形的周長最大，即sin（θ+β）=1，Lmax=4（a2+b2）1/2.

從這題的解析中我們不難發現其中使用到的圓錐曲線參數方程是橢圓參數方程，圓錐曲線參數方程在這個例題中的使用，主要是解決最值問題.

2.利用圓錐曲線參數方程解決高中數學中遇到的定值問題

例2 證明雙曲線上的任意一點到兩條漸近線的距離是一個定值.雙曲線方程為

x2a2+y2b2=1（a>b>0）.

證明 將雙曲線上一點坐標設置為Q（asecθ，btanθ），雙曲線的兩條漸近線方程分別為：

bx+ay=0； bx-ay=0.則雙曲線上的Q點到兩條漸近線的距離為d1=（absecθ+abtanθ）÷（a2+b2）1/2，d2=（absecθ-abtanθ）÷（a2+b2）1/2，d1d2=a2b2（sec2θ-tan2θ）÷（a2+b2）=a2b2÷（a2+b2）為定值.

從這個例題中我們看出使用的是圓錐曲線參數方程中的雙曲線參數方程，從這個問題中我們可以看出，圓錐曲線參數方程可以解決高中數學中遇到的定值問題.

3.利用圓錐曲線參數方程解決高中數學中遇到的軌跡問題

例3 在拋物線y2=2px（p>0）上的兩個動點A，B滿足OA ⊥OB，求弦AB中點M的軌跡方程.

解析 從題中的方程式進行分析，我們可以知道該方程為拋物線方程，所以我們將A的坐

標設為（2pt2，2pt），由OA⊥OB可以得出B點坐標為（2pt2，-2pt），將弦AB上的中點M坐標設置為（x，y），由此可以得出M點的運動軌跡方程.

M點的軌跡方程為x=p（t2+1t2），

y=p（t-1t）.

消去t得y2p2-xp=-2.因此可以得出弦AB中點M的軌跡方程為y2=p（x-2p）.

從該題進行分析，其中運用到的圓錐曲線參數方程為拋物線參數方程.想要將動點軌跡方程進行求解，需要使用參數方程，例題3中得出的M點運動軌跡方程為參數方程.

4.利用圓錐曲線參數方程解決高中數學中遇到的范圍問題

例4 橢圓方程x2a2+y2b2=1（a>b>0）和坐標軸的x正半軸相交，交點為A，

假設橢圓方程上始終有一點P，使得OP⊥PA，求橢圓離心率的范圍.

解析 由題意可知A點的坐標為（a，0）.設橢圓上的點P坐標為（acosθ，bsinθ）.根據OP⊥PA可知：

bsinθacosθ

× bsinθacosθ-a=-1

，進一步將上式化簡得出：

b2a2=1-11+cosθ

.因為OP⊥PA，進而得知0

b2=a2-c2，所以得出橢圓離心率e的取值范圍為

21/22

例題4中涉及到的問題是范圍問題，應用到的圓錐曲線參數方程是橢圓參數方程.

在高中數學中求范圍的題所占的比例也很大，圓錐曲線參數方程在高中數學中的應用非常廣泛，我們將其進行綜合分析，圓錐曲線參數方程在高中數學中的應用，也就是求解最值、定值、點的運動軌跡方程、取值范圍等，不管是圓錐曲線參數方程在5種參數方程的哪一種，在高中數學的應用都是相對較多的，所以圓錐曲線參數方程在高中數學中屬于重點，也屬于難點，需要學生認真的學習，針對相應的問題，深入的思考，采用合適的參數方程，才可以快速地解決數學問題，節約解題時間.在使用圓錐曲線方程進行解題的過程中，不能盲目地解題，需要鍛煉解題思維，鍛煉數學思維，在遇到數學問題時，就會沉著應對.通過將曲線方程轉化為參數方程，將題的難度降低，運用數學思維解決問題，提高解題效率.

的優缺點，提升思維水平，這也從另一個方面強化了知識結構.

2.注重培養學生規范書寫的習慣

對于規范書寫，怎么強調都不過分.教師在平時的教學過程中，花點時間讓學生練習規范書寫也是值得的， 對于一道題， 可以嘗試讓學生多寫幾遍，最終再與比較規范的書寫對照， 找出問題所在， 反復練習，最終使學生潛移默化地養成規范書寫的習慣.筆者在二輪復習中，對于立體幾何題目，一般都是讓學生先獨立完成，之后同桌互評，了解不同的方法.然后挑幾個典型供大家分析、學習、欣賞，讓學生來點評，找出其中的優缺點，最后假設自己是閱卷老師進行打分，從而促進學生眼中有圖，腦中有路，心中有數.

在高中數學教學中，重要的一部分內容就是圓錐曲線.圓錐曲線方程的解析方法、代數方法在平面曲線等方面發揮著強大的作用，圓錐曲線參數方程在高中數學解題中的應用體現了數形結合思想.只要是和圓錐曲線相關的問題，都可以使用圓錐曲線方程進行解題.我們在本文中對圓錐曲線參數方程在高中數學解題中的應用進行研究分析.

我們知道高中數學教學中涉及到的圓錐曲線參數方程分為5類：直線參數方程、圓參數方程、橢圓參數方程、雙曲線參數方程、拋物線參數方程.圓錐曲線參數方程在高中數學學習中所占的比重較大，通過圓錐曲線參數方

程可以解決常見的問題，例如定值、最值、范圍、軌跡等問題.這些是高中數學中最常見的問題，也是在數學題中占據比例較大的問題.我們以示例作為探究基礎，對圓錐曲線參數方程在高中數學解題中的應用進行研究.

1.利用圓錐曲線參數方程解決高中數學中遇到的最值問題

例1 橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0），橢圓一個內接四邊形ABCD，其各邊和坐標軸平行，求這個四邊形的最大面積和最大周長.

解析 根據題意設A（acosθ，bsinθ），由四邊形的各邊和坐標軸平行，我們可以得知四邊形ABCD是一個矩形，則其面積為S=4（acosθ×bsinθ）=2absin2θ. S為最大值時，sin2θ為最大值，sin2θ為最大值，其最大值為1，當sin2θ=1時，S=2ab.四邊形ABCD的周長為L=4（bsinθ+acosθ）=4（a2+b2）

1/2sin（θ+β）.

sinβ=a÷（a2+b2）1/2，cosβ=b÷（a2+b2）1/2.當sin（θ+β）最大時，四邊形的周長最大，即sin（θ+β）=1，Lmax=4（a2+b2）1/2.

從這題的解析中我們不難發現其中使用到的圓錐曲線參數方程是橢圓參數方程，圓錐曲線參數方程在這個例題中的使用，主要是解決最值問題.

2.利用圓錐曲線參數方程解決高中數學中遇到的定值問題

例2 證明雙曲線上的任意一點到兩條漸近線的距離是一個定值.雙曲線方程為

x2a2+y2b2=1（a>b>0）.

證明 將雙曲線上一點坐標設置為Q（asecθ，btanθ），雙曲線的兩條漸近線方程分別為：

bx+ay=0； bx-ay=0.則雙曲線上的Q點到兩條漸近線的距離為d1=（absecθ+abtanθ）÷（a2+b2）1/2，d2=（absecθ-abtanθ）÷（a2+b2）1/2，d1d2=a2b2（sec2θ-tan2θ）÷（a2+b2）=a2b2÷（a2+b2）為定值.

從這個例題中我們看出使用的是圓錐曲線參數方程中的雙曲線參數方程，從這個問題中我們可以看出，圓錐曲線參數方程可以解決高中數學中遇到的定值問題.

3.利用圓錐曲線參數方程解決高中數學中遇到的軌跡問題

例3 在拋物線y2=2px（p>0）上的兩個動點A，B滿足OA ⊥OB，求弦AB中點M的軌跡方程.

解析 從題中的方程式進行分析，我們可以知道該方程為拋物線方程，所以我們將A的坐

標設為（2pt2，2pt），由OA⊥OB可以得出B點坐標為（2pt2，-2pt），將弦AB上的中點M坐標設置為（x，y），由此可以得出M點的運動軌跡方程.

M點的軌跡方程為x=p（t2+1t2），

y=p（t-1t）.

消去t得y2p2-xp=-2.因此可以得出弦AB中點M的軌跡方程為y2=p（x-2p）.

從該題進行分析，其中運用到的圓錐曲線參數方程為拋物線參數方程.想要將動點軌跡方程進行求解，需要使用參數方程，例題3中得出的M點運動軌跡方程為參數方程.

4.利用圓錐曲線參數方程解決高中數學中遇到的范圍問題

例4 橢圓方程x2a2+y2b2=1（a>b>0）和坐標軸的x正半軸相交，交點為A，

假設橢圓方程上始終有一點P，使得OP⊥PA，求橢圓離心率的范圍.

解析 由題意可知A點的坐標為（a，0）.設橢圓上的點P坐標為（acosθ，bsinθ）.根據OP⊥PA可知：

bsinθacosθ

× bsinθacosθ-a=-1

，進一步將上式化簡得出：

b2a2=1-11+cosθ

.因為OP⊥PA，進而得知0

b2=a2-c2，所以得出橢圓離心率e的取值范圍為

21/22

例題4中涉及到的問題是范圍問題，應用到的圓錐曲線參數方程是橢圓參數方程.

在高中數學中求范圍的題所占的比例也很大，圓錐曲線參數方程在高中數學中的應用非常廣泛，我們將其進行綜合分析，圓錐曲線參數方程在高中數學中的應用，也就是求解最值、定值、點的運動軌跡方程、取值范圍等，不管是圓錐曲線參數方程在5種參數方程的哪一種，在高中數學的應用都是相對較多的，所以圓錐曲線參數方程在高中數學中屬于重點，也屬于難點，需要學生認真的學習，針對相應的問題，深入的思考，采用合適的參數方程，才可以快速地解決數學問題，節約解題時間.在使用圓錐曲線方程進行解題的過程中，不能盲目地解題，需要鍛煉解題思維，鍛煉數學思維，在遇到數學問題時，就會沉著應對.通過將曲線方程轉化為參數方程，將題的難度降低，運用數學思維解決問題，提高解題效率.

的優缺點，提升思維水平，這也從另一個方面強化了知識結構.

2.注重培養學生規范書寫的習慣

對于規范書寫，怎么強調都不過分.教師在平時的教學過程中，花點時間讓學生練習規范書寫也是值得的， 對于一道題， 可以嘗試讓學生多寫幾遍，最終再與比較規范的書寫對照， 找出問題所在， 反復練習，最終使學生潛移默化地養成規范書寫的習慣.筆者在二輪復習中，對于立體幾何題目，一般都是讓學生先獨立完成，之后同桌互評，了解不同的方法.然后挑幾個典型供大家分析、學習、欣賞，讓學生來點評，找出其中的優缺點，最后假設自己是閱卷老師進行打分，從而促進學生眼中有圖，腦中有路，心中有數.