點到直線距離公式的證法綜述

李守峰

設點P（x0，y0），直線L：Ax+By+C=0.則點P（x0，y0）到直線L：Ax+By+C=0的距離為d=|Ax0+By0+C|A2+B2.本文從這個公式的多種思路證明說明教材的基本結論對培養學生思維能力的重要性，并且通過對多重證明情況的分析，達到既對證明思路進行創新，又對所學知識進行相應的復習與整合，從而達到事半功倍的效果.

1.循規但不蹈矩，教材證法尋求創新

分析教材中的證明，運用了數軸上兩點間的距離公式、勾股定理和三角形的面積法，這種證法既有一定的技巧，有易于學生接受，而且過程簡單.

證明1 如圖1所設，

則有：Ax0+Bn+C=0，Am+By0+C=0.

且|PR|2=（m-x0）2=（Am-Ax0）2A2

=（-By0-C-Ax0）2A2=（Ax0+By0+C）2A2.

同理|PS|2=（Ax0+By0+C）2B2.

所以|PQ|2=|PR|2|PS|2|PR|2+|PS|2=（Ax0+By0+C）2A2+B2即：d=|Ax0+By0+C|A2+B2.

2.麻煩但不放棄，教材提示彰顯功底

分析 教材中給出提示，只需求出垂線的垂足，利用兩點間的距離公式即可.這種思維非常直接.但是在學生解垂足時顯得有些困難，好多學生不能正確解得方程組，因此盡管思路無障礙，但是具體過程讓學生望而生畏！教材中采取提示處理，既給學生指出了一種思路，又給學生課下鉆研的機會，可謂是欲擒故縱！

證明2 因為過點P（x0，y0）垂直于直線L：Ax+By+C=0的直線為Bx-Ay=Bx0-Ay0.

解方程組Ax+By+C=0，

Bx-Ay=Bx0-Ay0

得x0-x=A（Ax0+By0+C）A2+B2，

y0-y=B（Ax0+By0+C）A2+B2，

所以|PQ|2=（x0-xQ）2+（y0-yQ）2，代入整理得

d=|Ax0+By0+C|A2+B2.

3.構造函數模型，距離轉為最值問題

分析 由于點到直線上任意一點的距離是關于“點”的函數，而點到直線的距離正是上述函數的最小值，因此想到構造點到直線上任一點的距離的函數，然后再求它的最小值.

證明3 設Q（x，y）為直線L：Ax+By+C=0上的動點，則y=-

Ax+CB.

所以|PQ|2=（x0-x）2+（y0-y）2

=（x0-x）2+（y0+Ax+CB）2=A2+B2B2x2+2·ABy0-B2x0+ACB2x+x20+（y0+CB）2.

易知當x0-x=A（Ax0+By0+C）A2+B2時，|PQ|2取得最小值.

這時y0-y=y0+Ax+CB=Ax0+By0+CB-A（x0-x）B=B（Ax0+By0+C）A2+B2.

所以易得d=PQ|min=|Ax0+By0+C|A2+B2.

4.構造不等模型，最值化為取等問題

說明：在方法3的基礎上，運用柯西不等式直接求出兩點間距離的最小值，即為點到直線的距離.這種方式大大簡化了思維過程和運算量，給人以簡單明了的感覺.

證明4 設Q（x，y）為直線L：Ax+By+C=0上的動點

則|PQ|2=（x0-x）2+（y0-y）2=（Ax0-Ax）2A2+（By0-By）2B2≥（Ax0-Ax+By0-By）2A2+B2=（Ax0+By0+C）2A2+B2.

故有：d=|Ax0+By0+C|A2+B2.（取等號條件為x0-xA=y0-yB，這時Q為垂足）

5.構造向量模型，距離化為射影問題

分析 以直線上任一點為起點，定點為終點作向量，則該點到直線的距離又轉化為向量在直線上的射影問題，為此有如下的解法.

證明5 在直線L上任取一點Q（x，y），過Q作直線L的法向量QB， 則QB=（A，B）.

易知點P到L的距離等于向量QP在QB上的射影的絕對值.

所以d=|PQ| |cosθ|=|QP||OP·QA||QP||QA|=

|QP·OA||QA|

=|（A，B）·（x0-x1，y0-y1）|A2+B2=

|A（x0-x1）+（By0-y1）|A2+B2=

|Ax0+By0-（Ax1+By1）|A2+B2=|Ax0+By0+C|A2+B2.

6.引入參數變量，距離轉為有向線段的模

分析 由一點向已知直線作垂線，垂線的方程可用參數方程表示，這樣只要求出垂足對應的有向線段，則該有向線段的長即為點到直線的距離，為此又得

證明6 設PQ⊥L，因為L：Ax+By+C=0，

則PQ的斜率為BA（斜率不存在的情況略），故直線PQ的參數方程為x=x0+tcosθ，

y=y0+tsinθ（tanθ=BA），所以L：A（x0+tcosθ）+B（y0+tsinθ）+C=0，解得：t=

Ax0+By0+CAcosθ+Bsinθ=Ax0+By0+CA2+B2，

即：d=|t|=|Ax0+By0+C|A2+B2.

7.運用直線參數方程，距離化為有向線段最小值

分析 構造過定點的旋轉直線系，當旋轉直線系中的某條直線與已知直線垂直時，則該直線的對應有向線段的長度即為點到直線的距離.

證明7 將x=x0+tcosθ，

y=y0+tsinθ （t，θ均為參數）代入L得 A（x0+tcosθ）+B（y0+tsinθ）+C=0，解得：t=-Ax0+By0+CAcosθ+Bsinθ.

由幾何意義可知，上述|t|的最小值即為點P（x0，y0）到直線L：Ax+By+C=0 的距離.

|t|=|Ax0+By0+CAcosθ+Bsinθ|=|Ax0+By0+CA2+B2sin（θ+φ）|≥|Ax0+By0+C|A2+B2.

8.運用面積公式，距離化為底邊高

分析 若取直線上任意兩點，該兩點與定點構成三角形，該三角形的面積可用三頂點的坐標行列式表示，而邊上的高（點到直線的距離）正好可用面積法求得，為此得

證明8 如圖，易知S△PAB=12|x0y01

x1y11

x2y21|

=|12Bx0Ax0+By0+C1

x1Ax1+By1+C1

x2Ax2+By2+C1|

=|12Bx0Ax0+By0+C1

x101

x201|

=

12||Ax0+By0+C|A2+B2||x1-x2B|A2+B2

.而|AB|=

1BA2+B2|x1-x2|，所以S△PAB=12|AB||Ax0+By0+CA2+B2|，d=|PQ|=|Ax0+By0+C|A2+B2.

9.借助向量求射影，運用勾股定理求距離

分析 如圖，由向量的性質可求得直線的法向量，然后再求法向量的模即可.為此又得

證明9 在直線L：Ax+By+C=0上任取兩點A、B，過P（x0，y0）作PQ⊥L，Q為垂足，并設：A（x1，y1），B（x2，y2）， 記Δx=x2-x1，Δy=y2-y1，易得Δy=-AB·Δx，

由圖形可知： |AQ|=|AP||cosAP，AB|=|AP|×|AP·AB||AP||AB|=|AP·AB||AB|=|（x0-x1，y0-y1）·（Δx，Δy）|（Δx）2+（Δy）2=|（Δx（x0-x）+Δy（y0-y1）|Δx2+Δy2.

所以 |PQ|2=|AP|2-|AQ|2

=（x0-x1）2+（y0-y1）2-[（Δx（x0-x）+Δy（y0-y1]2（Δx）2+（Δy）2=[（Δx（x0-x）-Δy（y0-y1]2（Δx）2+（Δy）2.將Δy=-AB·（Δx）代入并化簡得d=|PQ|=|Ax0+By0+C|A2+B2.

10.借助法向量，過程巧處理

分析 由于垂足指向定點的向量與直線的法向量共線

，故設出垂足的坐標后，可得關于垂足的兩個方程，將這兩個方程適當變形即可構造出兩點間的距離表達式，這種解法可謂獨具匠心！

證明10 過點P（x0，y0）作垂直于直線L：Ax+By+C=0的直線，設垂足為Q.

則B（x1-x0）-A（y1-y0）=0，

Ax1+By1+C=0，

即：B（x1-x0）-A（y1-y0）=0，

A（x1-x0）+B（y1-y0）=-（Ax0+By0+C）. （1）

（2）

（1）的平方+（2）的平方得： （A2+B2）[（x1-x0）2+（y1-y0）2]=（Ax0+By0+C）2

所以：|PQ|2=（x0-x1）2+（y0-y1）2=（Ax0+By0+C）2A2+B2，所以d=|Ax0+By0+C|A2+B2.

由此可見：教材是法寶，它蘊含著無窮的力量，教學中一定要牢牢抓住教材這個根本.任何舍本求末的作法都偏離了教學之根本，任何的題海戰術只能是通過大量的體力付出，結果收效甚微.如果我們注重教材的挖掘，不但能減輕學生的課業負擔，而且培養學生注重基礎知識的運用，尋找知識之間的聯系，從而達到觸類旁通、舉一反三的目的.我們的師生是不是可以達到教與學是一種享受的境界呢！

由幾何意義可知，上述|t|的最小值即為點P（x0，y0）到直線L：Ax+By+C=0 的距離.

|t|=|Ax0+By0+CAcosθ+Bsinθ|=|Ax0+By0+CA2+B2sin（θ+φ）|≥|Ax0+By0+C|A2+B2.

8.運用面積公式，距離化為底邊高

分析 若取直線上任意兩點，該兩點與定點構成三角形，該三角形的面積可用三頂點的坐標行列式表示，而邊上的高（點到直線的距離）正好可用面積法求得，為此得

證明8 如圖，易知S△PAB=12|x0y01

x1y11

x2y21|

=|12Bx0Ax0+By0+C1

x1Ax1+By1+C1

x2Ax2+By2+C1|

=|12Bx0Ax0+By0+C1

x101

x201|

=

12||Ax0+By0+C|A2+B2||x1-x2B|A2+B2

.而|AB|=

1BA2+B2|x1-x2|，所以S△PAB=12|AB||Ax0+By0+CA2+B2|，d=|PQ|=|Ax0+By0+C|A2+B2.

9.借助向量求射影，運用勾股定理求距離

分析 如圖，由向量的性質可求得直線的法向量，然后再求法向量的模即可.為此又得

證明9 在直線L：Ax+By+C=0上任取兩點A、B，過P（x0，y0）作PQ⊥L，Q為垂足，并設：A（x1，y1），B（x2，y2）， 記Δx=x2-x1，Δy=y2-y1，易得Δy=-AB·Δx，

由圖形可知： |AQ|=|AP||cosAP，AB|=|AP|×|AP·AB||AP||AB|=|AP·AB||AB|=|（x0-x1，y0-y1）·（Δx，Δy）|（Δx）2+（Δy）2=|（Δx（x0-x）+Δy（y0-y1）|Δx2+Δy2.

所以 |PQ|2=|AP|2-|AQ|2

=（x0-x1）2+（y0-y1）2-[（Δx（x0-x）+Δy（y0-y1]2（Δx）2+（Δy）2=[（Δx（x0-x）-Δy（y0-y1]2（Δx）2+（Δy）2.將Δy=-AB·（Δx）代入并化簡得d=|PQ|=|Ax0+By0+C|A2+B2.

10.借助法向量，過程巧處理

分析 由于垂足指向定點的向量與直線的法向量共線

，故設出垂足的坐標后，可得關于垂足的兩個方程，將這兩個方程適當變形即可構造出兩點間的距離表達式，這種解法可謂獨具匠心！

證明10 過點P（x0，y0）作垂直于直線L：Ax+By+C=0的直線，設垂足為Q.

則B（x1-x0）-A（y1-y0）=0，

Ax1+By1+C=0，

即：B（x1-x0）-A（y1-y0）=0，

A（x1-x0）+B（y1-y0）=-（Ax0+By0+C）. （1）

（2）

（1）的平方+（2）的平方得： （A2+B2）[（x1-x0）2+（y1-y0）2]=（Ax0+By0+C）2

所以：|PQ|2=（x0-x1）2+（y0-y1）2=（Ax0+By0+C）2A2+B2，所以d=|Ax0+By0+C|A2+B2.

由此可見：教材是法寶，它蘊含著無窮的力量，教學中一定要牢牢抓住教材這個根本.任何舍本求末的作法都偏離了教學之根本，任何的題海戰術只能是通過大量的體力付出，結果收效甚微.如果我們注重教材的挖掘，不但能減輕學生的課業負擔，而且培養學生注重基礎知識的運用，尋找知識之間的聯系，從而達到觸類旁通、舉一反三的目的.我們的師生是不是可以達到教與學是一種享受的境界呢！

由幾何意義可知，上述|t|的最小值即為點P（x0，y0）到直線L：Ax+By+C=0 的距離.

|t|=|Ax0+By0+CAcosθ+Bsinθ|=|Ax0+By0+CA2+B2sin（θ+φ）|≥|Ax0+By0+C|A2+B2.

8.運用面積公式，距離化為底邊高

分析 若取直線上任意兩點，該兩點與定點構成三角形，該三角形的面積可用三頂點的坐標行列式表示，而邊上的高（點到直線的距離）正好可用面積法求得，為此得

證明8 如圖，易知S△PAB=12|x0y01

x1y11

x2y21|

=|12Bx0Ax0+By0+C1

x1Ax1+By1+C1

x2Ax2+By2+C1|

=|12Bx0Ax0+By0+C1

x101

x201|

=

12||Ax0+By0+C|A2+B2||x1-x2B|A2+B2

.而|AB|=

1BA2+B2|x1-x2|，所以S△PAB=12|AB||Ax0+By0+CA2+B2|，d=|PQ|=|Ax0+By0+C|A2+B2.

9.借助向量求射影，運用勾股定理求距離

分析 如圖，由向量的性質可求得直線的法向量，然后再求法向量的模即可.為此又得

證明9 在直線L：Ax+By+C=0上任取兩點A、B，過P（x0，y0）作PQ⊥L，Q為垂足，并設：A（x1，y1），B（x2，y2）， 記Δx=x2-x1，Δy=y2-y1，易得Δy=-AB·Δx，

由圖形可知： |AQ|=|AP||cosAP，AB|=|AP|×|AP·AB||AP||AB|=|AP·AB||AB|=|（x0-x1，y0-y1）·（Δx，Δy）|（Δx）2+（Δy）2=|（Δx（x0-x）+Δy（y0-y1）|Δx2+Δy2.

所以 |PQ|2=|AP|2-|AQ|2

=（x0-x1）2+（y0-y1）2-[（Δx（x0-x）+Δy（y0-y1]2（Δx）2+（Δy）2=[（Δx（x0-x）-Δy（y0-y1]2（Δx）2+（Δy）2.將Δy=-AB·（Δx）代入并化簡得d=|PQ|=|Ax0+By0+C|A2+B2.

10.借助法向量，過程巧處理

分析 由于垂足指向定點的向量與直線的法向量共線

，故設出垂足的坐標后，可得關于垂足的兩個方程，將這兩個方程適當變形即可構造出兩點間的距離表達式，這種解法可謂獨具匠心！

證明10 過點P（x0，y0）作垂直于直線L：Ax+By+C=0的直線，設垂足為Q.

則B（x1-x0）-A（y1-y0）=0，

Ax1+By1+C=0，

即：B（x1-x0）-A（y1-y0）=0，

A（x1-x0）+B（y1-y0）=-（Ax0+By0+C）. （1）

（2）

（1）的平方+（2）的平方得： （A2+B2）[（x1-x0）2+（y1-y0）2]=（Ax0+By0+C）2

所以：|PQ|2=（x0-x1）2+（y0-y1）2=（Ax0+By0+C）2A2+B2，所以d=|Ax0+By0+C|A2+B2.

由此可見：教材是法寶，它蘊含著無窮的力量，教學中一定要牢牢抓住教材這個根本.任何舍本求末的作法都偏離了教學之根本，任何的題海戰術只能是通過大量的體力付出，結果收效甚微.如果我們注重教材的挖掘，不但能減輕學生的課業負擔，而且培養學生注重基礎知識的運用，尋找知識之間的聯系，從而達到觸類旁通、舉一反三的目的.我們的師生是不是可以達到教與學是一種享受的境界呢！