合情推理在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

王英芳

摘 要： 合情推理是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本方法之一，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，主要有歸納法和類比法。本文主要用歸納思想和類比思想對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的案例進(jìn)行分析，以期一線教師在教學(xué)中更好地運(yùn)用合情推理，強(qiáng)化小學(xué)生的解題技巧，提高小學(xué)生的解題能力。

關(guān)鍵詞： 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 合情推理 歸納法 類比法

一、合情推理的概念

合情推理就是合乎情理的猜測(cè)方法，是從觀察、實(shí)驗(yàn)入手，在推理者個(gè)人數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)直覺等背景的影響下，根據(jù)已知的某些數(shù)學(xué)事實(shí)，運(yùn)用某種非嚴(yán)格的但合乎情理的推理形式，作出新的判斷的思維過程，主要有歸納法和類比法。

歸納法，又稱歸納推理，指的是通過對(duì)某類數(shù)學(xué)對(duì)象（或事物）的個(gè)別或部分進(jìn)行研究，得出關(guān)于一類事物的一般結(jié)論的方法[1]。小學(xué)數(shù)學(xué)中常用的是不完全歸納法，也就是：僅僅通過對(duì)一類事物部分對(duì)象的考察，就作出該類事物具有一般性的論斷[2]。這種推理方法得到的結(jié)論并不一定可靠，需要作進(jìn)一步證明，但在小學(xué)數(shù)學(xué)中只需多舉例驗(yàn)證就可以。

類比法，又稱類比推理，是指根據(jù)兩個(gè)不同事物之間，某些方面的相似點(diǎn)而推理出它們?cè)谄渌矫嬉部赡艽嬖谙嗨苹蛳嗤耐评矸椒╗3]。波利亞指出，類比的關(guān)鍵就是將兩個(gè)事物在某些屬性上的相似之處化為明確的概念，若將它們變成清楚的概念，也就闡明了類比關(guān)系。類比推理是數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維活動(dòng)的重要方法，就如波利亞所說：“類比是個(gè)偉大的引路人?！睂?duì)于數(shù)學(xué)猜想而言，類比推理的意義就在于“觸類旁通”、“旁敲側(cè)擊”，它提供了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)求解的線索。

合情推理是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本方法之一。與合情推理相比，論證推理是可靠的、無可置疑的，數(shù)學(xué)論證推理主要用來對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的、體現(xiàn)事物的性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系的猜想或模式的雛形進(jìn)行本質(zhì)性的考察，判斷或驗(yàn)證其真實(shí)性，從理論上和邏輯上進(jìn)行嚴(yán)格論證，為新模式和新理論的形成提供保障。雖然論證推理是可靠的、無可置疑的，合情推理在數(shù)學(xué)中卻有廣泛的應(yīng)用，其中歸納法與類比法最普遍、最重要。許多數(shù)學(xué)結(jié)論及相應(yīng)的證明只有靠合情推理才能得以發(fā)現(xiàn)。

二、合情推理案例分析

（一）歸納思想案例分析

案例一：在方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)（人教版小學(xué)數(shù)學(xué)課本三年級(jí)上冊(cè)第二單元課后練習(xí)P26）。

這個(gè)題對(duì)于我們來說非常簡單，只要掌握了三位數(shù)的連續(xù)退位減法后，將豎式計(jì)算化為推理就可得出答案，如下：

但這個(gè)題對(duì)于小學(xué)生來說就沒有那么簡單，要理解如何得出答案的過程就不太容易。學(xué)生僅知道答案是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，教師要做的是為學(xué)生呈現(xiàn)解題過程，啟發(fā)學(xué)生思考這個(gè)題的結(jié)果是怎么得來的。一位教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富的老師用了下面的方法啟發(fā)學(xué)生：

先計(jì)算下面的式子：

19-1=？搖？搖 19-2=？搖 ？搖19-3=？搖？搖

19-4=？搖？搖 19-5=？搖 ？搖19-6=？搖？搖

19-7=？搖 ？搖19-8=？搖 ？搖19-9=？搖？搖

計(jì)算后得出如下答案：

19-1=18？搖 ？搖19-2=17？搖 ？搖19-3=16？搖？搖

19-4=15？搖 ？搖19-5=14？搖 ？搖19-6=13？搖？搖

19-7=12？搖 ？搖19-8=11？搖 ？搖19-9=10？搖？搖

從以上計(jì)算可以看出：“19減掉任何一個(gè)1位自然數(shù)后，其結(jié)果都是兩位自然數(shù)。”由此得到啟發(fā)：被減數(shù)的十位被個(gè)位借走了“1”。只有在這樣的情況下，差才會(huì)是兩位數(shù)，才與方框里要填數(shù)的特性相符。從“19-9=10”可以得到啟發(fā)，10被借走“1”后恰好是一個(gè)個(gè)位數(shù)，減數(shù)的十位上可能填9，如下面的豎式：

為了進(jìn)一步驗(yàn)證減數(shù)和差十位上填9是否準(zhǔn)確，還需推算出它們個(gè)位上的數(shù)。十位上借走了“1”，個(gè)位上要填的數(shù)一定是比7大的數(shù)，它們是8或9，所以有：

經(jīng)計(jì)算，上面的推算正確，進(jìn)一步驗(yàn)證了減數(shù)十位填9的猜想。

考慮到小學(xué)生的思維發(fā)展水平，需要通過教師的指導(dǎo)找到一種明了的解題思路。在教師的指引下，學(xué)生從自己熟悉的算式中，采用不完全歸納法，以一類事物若干個(gè)別對(duì)象或子類具有某一屬性為前提，而得出該類事物都具有這一屬性的推理形式，從這個(gè)推理形式中歸納出他們自己可能還未意識(shí)到的結(jié)論。案例一中的推理遵循如下基本推理規(guī)則：

19-1的結(jié)果是兩位數(shù)

19-2的結(jié)果是兩位數(shù)

……

19-9的結(jié)果是兩位數(shù)（其中減數(shù)1，2，…，9都是一位自然數(shù)）

————————————————

所以，19減去任何一個(gè)一位自然數(shù)都是兩位數(shù)。

其中，19-1，19-2，…，19-9是“19減去任何一個(gè)一位自然數(shù)”的個(gè)別對(duì)象或子類。

這個(gè)題中不僅包含了“減去任何一個(gè)一位自然數(shù)后，其結(jié)果都是兩位自然數(shù)”的結(jié)論，還包含了“18減去任何一個(gè)比9小的自然數(shù)，其結(jié)果都是兩位數(shù)”這一結(jié)論，對(duì)這些結(jié)論的認(rèn)識(shí)也屬于科學(xué)認(rèn)識(shí)的范疇。科學(xué)認(rèn)識(shí)的過程，需要經(jīng)歷一個(gè)從個(gè)體到一般的發(fā)展過程，即從積累大量的觀察、實(shí)驗(yàn)材料，到轉(zhuǎn)化成一般原理的過程。通過個(gè)性可以認(rèn)識(shí)和發(fā)現(xiàn)共性，在這個(gè)過程中，需要以歸納法發(fā)揮作用，歸納出客觀事物的個(gè)性中蘊(yùn)含著共性，在這里的“共性”是指：用歸納法從案例一中發(fā)現(xiàn)的兩個(gè)具體結(jié)論，它們指導(dǎo)學(xué)生找到解決問題的方法。那么從發(fā)現(xiàn)的結(jié)論中可以判斷出：被減數(shù)197的十位被個(gè)位借走了“1”、減數(shù)的十位上填9，從而找到解決案例一的突破口。

小學(xué)階段的學(xué)生以形象思維為主，學(xué)生學(xué)習(xí)某個(gè)新概念之前需要接觸大量的具體事例，再從這些事例中發(fā)現(xiàn)概念，學(xué)生發(fā)現(xiàn)的概念就是隱藏在客觀事物中的共性，這就是歸納思想的體現(xiàn)。

（二）類比思想案例分析

案例二長方形（正方形）與長方體（正方體）的類比，如下圖：

圖 長方形與長方體的類比圖

長（正）方形各邊的關(guān)系與長（正）方體各面之間的關(guān)系相似：長方形每一邊恰與相對(duì)的一邊平行，而與其余的邊垂直；長方體的每一面恰與相對(duì)的一面平行，而與其余的面垂直。平面幾何中的直線就相當(dāng)于立體幾何中的平面。比如，要知道一般位置的四個(gè)平面（構(gòu)成一個(gè)三棱錐）把空間分成幾個(gè)部分，可以先找出平面上一般位置的三條直線（交點(diǎn)互異）把平面分成幾個(gè)部分，然后再用類比的思想，將其與空間的四個(gè)平面作比較，進(jìn)而得出結(jié)論。

平面與空間之間有同一性，因此可以類比，但具有同一性的任何兩個(gè)不同事物必有相異性，正是這種相異性限制了類比的范圍。如果類比的結(jié)論正好揭示了它的同一性，則結(jié)論正確。事實(shí)上，長方形各邊之間的關(guān)系與長方體各面之間的關(guān)系相似，類比的結(jié)果正好揭示了它們的同一性。三棱錐與交點(diǎn)互異的三條直線也有同一性，可以類比，它們兩者間的類比關(guān)系要更復(fù)雜些。三棱錐各邊、各面與交點(diǎn)互異的那三條直線之間有相似關(guān)系；同時(shí)，三棱錐四個(gè)面的交點(diǎn)與三條交點(diǎn)互異直線的三個(gè)交點(diǎn)之間也有相似關(guān)系，可以類比。根據(jù)它們兩者之間存在的相似性，用推算“交點(diǎn)互異的三條直線將平面分成7個(gè)部分”的方法，推算出一個(gè)三棱錐將空間分成15個(gè)部分。

當(dāng)我們遇到一個(gè)新問題或一些比較復(fù)雜的問題時(shí)，不能立即找到解法，可以先找到類比問題的解法（這個(gè)類比問題的解法比待解問題簡單）。通常情況下，在類比過程中進(jìn)行推測(cè)、聯(lián)想，將各個(gè)知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來，不僅能開闊視野、拓寬思路，還能強(qiáng)化解題技巧，兩者配合使用，相得益彰。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳炯圻，林培榕.數(shù)學(xué)思想方法——?jiǎng)?chuàng)新與應(yīng)用能力的培養(yǎng)[M].廈門：廈門大學(xué)出版社，2009.8：156.

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