關(guān)于模橢圓曲線上的格點(diǎn)計(jì)算

董祥南

(江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，江西 南昌330022)

0 引言

設(shè)a，b，c∈Z，形如y2=x3+ax2+bx+c的曲線，稱為模橢圓曲線，這是一類非常重要的代數(shù)曲線，其在數(shù)論計(jì)算中有很重要的地位和作用，特別是曲線上的格點(diǎn)(即滿足曲線方程的點(diǎn)P(x，y)的2個(gè)坐標(biāo)分量都是整數(shù)的點(diǎn))的計(jì)算。本文計(jì)算了幾條模橢圓曲線，找出了這些模橢圓曲線上的所有格點(diǎn)。

1 引理及主要定理的證明

定理1:模橢圓曲線y2+y=x3上有且僅有2個(gè)格點(diǎn)(x，y)=(0，0)。

推論1:模橢圓曲線y2－y=x3上有且僅有2個(gè)格點(diǎn)(x，y)=(0，0)，(0，1)。

定理2:模橢圓曲線y2=x3+x上有且僅有一個(gè)格點(diǎn)(x，y)=(0，0)。

推論2:模橢圓曲線y2=x3－x上有且僅有3個(gè)格點(diǎn)(x，y)=(0，0)，(1，0)，(－1，0)。

定理3:設(shè)素?cái)?shù)p滿足p≡3(mod 4)，則模橢圓曲線py2=x3+x2+x+1上沒有滿足x≠－1 (mod p)的格點(diǎn)。

證明:用反證法證。假設(shè)(x，y)是定理3中曲線上的滿足x≠－1(mod p)的格點(diǎn)，則滿足曲線方程py2=x3+x2+x+1=(x+1)(x2+1)，注意到(x+1，x2+1)=1或2，于是就有:

綜合上面的各種情況，即知定理3的結(jié)論成立。

定理4:設(shè)素?cái)?shù)p≡±3(mod 8)，則模橢圓曲線py2=x3+x2－2x－2上沒有格點(diǎn)。

引理2［3］:設(shè)D是一個(gè)非平方數(shù)的正整數(shù)，則方程x2－Dy4=1(x，y∈N)至多有2組解。

定理5:設(shè)p≡5(mod 12)是素?cái)?shù)，則模橢圓曲線y2=px(x2+3)上至多存在2組正整數(shù)解。

證明:設(shè)(m，n)是模橢圓曲線y2=px(x2+3)上的整數(shù)點(diǎn)，則有:n2=pm(m2+3)，于是就有p| n，故可令n=pk，則pk2=m(m2+3)，注意到:(m，m2+3)=(m，3)=1或3。

情形1:如果(m，m2+3)=1，則由引理1可得

情形2:如果(m，m2+3)=3，則3|m，故可令m=3r，則由于p是素?cái)?shù)，就有3|k，令k=3s，就得到ps2=r(3r2+1)，由于(r，3r2+1)=(r，1)=1，因此由引理1就有:

綜合上述各種情況就得到:模橢圓曲線y2= px(x2+3)上至多存在2組正整數(shù)解。

［1］ 閔嗣鶴，嚴(yán)士健.初等數(shù)論(第2版)［M］.北京:高等教育出版社，1982.

［2］ 華羅庚.數(shù)論導(dǎo)引［M］.北京:科學(xué)出版社，1957.

［3］ Walsh P G.A note on a theorem of Ljunggrem and the Diophantine equation x2－kxy2+y4=1，4［J］.Anal.Math.(Basel)，1999，73(1):119－125.