一類多參數平面微分系統的全局結構分析

劉藝藝，竇霽虹，趙紅妮

(西北大學數學系，陜西 西安710127)

0 引言

平面多項式微分系統的定性理論在微分方程定性理論中占有重要地位，對它的研究大多集中在一個具體的系統。對于參數系統的研究具有重要的意義，當參數取定為某一值時，系統就成為一個新的系統，這樣只需對一類參數系統進行研究，就可以得到一系列系統的隨參數變化的性質。系統參數研究的方法一般是將其余參數看成常量，將要研究的參數看成唯一變量，對其進行研究［1，2］;或者構造高階方程，通過對高階微分方程的研究確定原始系統的性質［3］;還有利用不等式分析方法，通過放大或縮小不等式來尋找滿足結果的若干條件［4］;或是選取適當的條件，反過來求解參數應該滿足的范圍［5～11］?；谝陨蠀迪到y的研究方法，本文主要對系統

在a＞0時進行定性分析，得到系統極限環的不存在性、存在唯一性的一些充分條件，并分析出系統參數變動對系統性態是如何影響的。

1 系統有限遠奇點分析

求解方程組

當δ≥2時，O(0，0)為不穩定的結點;當0＜δ＜2時，O(0，0)為不穩定的焦點;當－2＜δ＜0時，O(0，0)為穩定的焦點;當δ≤－2時，O(0，0)為穩定的結點。

當δ=0時，O(0，0)為(1)對于線性系統的中心，應用形式級數法，得到:

(ⅰ)當l＞0時，O(0，0)為穩定的焦點。

(ⅱ)當l＜0時，O(0，0)為不穩定的焦點。

(ⅲ)當l=0時，系統(1)化為

(4)當n＜0時，

2 系統無窮遠奇點分析

2.1 對系統(1)作Poincare第一變換

系統(4)在B(u，0)對應的線性部分矩陣為

(1)當n＞0，l≥0時;

(2)當n＞0，l＜0時:

(3)當n＜0時可類似的進行討論。

2.2 對系統(1)作Poincare第二變換

當n≠0時，D(0，0)不是系統(6)奇點;當n =0時，D(0，0)是系統的高階奇點。

3 系統參數變動對系統性態的影響

綜上所述，系統(1)的有限遠奇點和無窮遠奇點的性態如表1所示。

當n＜0時可類似的進行討論。

表1 系統(1)有限遠奇點的性態

表2 系統(1)的無窮遠奇點當n＞0時的性態

4 系統極限環的分析

定理1:當lδ≥0且l2+δ2≠0時，系統(1)在全平面內不存在閉軌線。

定理2:當l=δ=0時，系統(1)存在一族圍繞O(0，0)的閉軌線。

證明:由前面的討論知，當l=δ=0時O(0，0)為系統中心，所以在O(0，0)鄰域內充滿閉軌線。

下面僅就lδ＜0的情況討論。

先給出引理1［13］。

引理1:考慮微分方程組

2.1.3.1 順產不同時期BMI、新生兒體質量與盆底肌力治療前后的相關性 順產者盆底肌力減退治療前后變化只與產后BMI存在正相關(P<0.05)，見表6。

(1)當x≠0時，xg(x)＞0;當y≠0時，yφ(x)＞0;

(2)f(x)，g(x)，φ(y)連續可微;φ(y)單調遞增;f(0)＜0(f(0)＞0);

(3)存在常數α，β，使f1(x)=f(x)+g(x)［α +βF(x)］有簡單零點x1＜0與x2＞0，而且在區間(x1，x2)上f1(x)≤0(f1(x)≥0);

(5)所有閉軌線包圍x軸上的區間［x1，x2］，則系統(7)最多有一個極限環;如果它存在，則是穩定的(不穩定的)。

(1)當x≠0時，xg(x)=x2(ax2+1)＞0;當y≠0時，yφ(x)=y2(ny2+my+1)＞0;

(2)f(x)=F'(x)=－δ－3lx2連續可微，g (x)，φ(y)連續可微;φ'(y)=3ny2+2my+1＞0，φ(y)單調遞增;f(0)=－δ＜0;

(3)存在常數α=0，β=1，使f1(x)=－δ－3lx2+(x+ax3)(－δx－lx3)，f1(1)＞0，f1(－1)＞0，f1(0)＜0，則由函數連續性和介值定理，存在簡單零點x1＜0與x2＞0，而且在區間(x1，x2)上f1(x)≤0;

(5)閉軌線若存在必包含O(0，0)，所以所有閉軌線都包圍x軸上的區間［x1，x2］;則系統(1)最多有一個極限環;如果它存在，則穩定。

同理得到定理4。

5 結束語

本文主要對一類三次系統進行定性分析，并總結出參數變化對系統性態的影響，得到有關定理。對系統參數的討論方法還可以應用于其它系統。

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