積分第一中值定理的推廣

陳玉

(江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，江西 南昌330022)

國(guó)內(nèi)外的數(shù)學(xué)分析及微積分教材中，常見(jiàn)的積分第一中值定理是被積函數(shù)乘積因子g(x)在［a，b］上連續(xù)且不變號(hào)的積分第一中值定理的形式，即:

積分第一中值定理［1］:若f與g都在［a，b］上連續(xù)，且g(x)在［a，b］上不變號(hào)，則至少存在一點(diǎn)ξ∈［a，b］，使得

其中，要進(jìn)一步證明中值點(diǎn)ξ可在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)取到還另需繁復(fù)的證明。

本文將g(x)的條件減弱，用簡(jiǎn)便的方法直接得到中值點(diǎn)ξ可在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)取到的結(jié)論，分別得到了閉區(qū)間與有限開(kāi)區(qū)間上推廣的積分第一中值定理。

1 閉區(qū)間上推廣的積分第一中值定理

引理1［2］:設(shè)f(x)在［a，b］上連續(xù)，g(x)在［a，b］上有界且有原函數(shù)，則f(x)g(x)在［a，b］上有原函數(shù)。

證明:設(shè)F(x)為f(x)在［a，b］上的一個(gè)原函數(shù)，則由引理2可得

從而

定理1:設(shè)f(x)在［a，b］上連續(xù)，g(x)在［a，b］上可積且有原函數(shù)，g(x)≠0(a＜x＜b)，則存在ξ∈(a，b)，使得

即

也即

注1:由于可積但不連續(xù)的函數(shù)也可能有原函數(shù)［2］，因此定理1的條件比積分第一中值定理更弱，并且用簡(jiǎn)便的證明方法直接得到中值點(diǎn)可在開(kāi)區(qū)間內(nèi)取到，從而推廣了積分第一中值定理。

注2:定理1也是文獻(xiàn)［4］推論4的推廣。

文獻(xiàn)［4］推論4:設(shè)f(x)、g(x)在［a，b］上連續(xù)，?x∈［a，b］，g(x)≠0，則存在ξ∈(a，b)，使得

易見(jiàn)，文獻(xiàn)［4］推論4可直接由定理1得到，成為定理1的一個(gè)推論，并且還可將條件“?x∈［a，b］，g(x)≠0”放寬為“g(x)≠0(a＜x＜b)”。

注3:定理1也可由文獻(xiàn)［5］定理2(柯西型積分中值定理)直接得到一個(gè)更簡(jiǎn)潔的證明(見(jiàn)以下證2)。

引理4［5］(柯西型積分中值定理):設(shè)f(x)，g(x)在［a，b］上可積，且在［a，b］上有原函數(shù)，g(x)≠0(a＜x＜b)，那么存在ξ∈(a，b)，使得

證2:g(x)在［a，b］上可積，從而g(x)在［a，b］上有界。由引理1得，f(x)g(x)在［a，b］上有原函數(shù)。又f(x)g(x)在［a，b］可積，f(x)在［a，b］上可積，且在［a，b］上有原函數(shù)，由引理4即得存在ξ∈(a，b)，使得

也即

2 有限開(kāi)區(qū)間上推廣的積分第一中值定理

引理5［1］:設(shè)f(x)、g(x)均為定義在［a，b］上的有界函數(shù)，若僅在［a，b］中有限個(gè)點(diǎn)處f(x)≠g(x)，則當(dāng)f(x)在［a，b］上可積時(shí)，g(x)在［a，b］上也可積，且

由F(x)在［a，b］上連續(xù)知F(x)在［a，b］上有界，則存在M＞0，對(duì)所有x∈(a，b)，有|F(x)|≤M，即|f(x)|≤M，(x∈(a，b))，則

即f(x)在［a，b］上有界。由g(x)在［a，b］上可積，得g(x)在［a，b］上有界，從而f(x)g(x)在［a，b］上有界。又因?yàn)镕(x)g(x)在［a，b］上有界，且僅在x=a，x=b處F(x)g(x)≠f(x)g(x)。

由引理5得，f(x)g(x)在［a，b］上可積，且

又因?yàn)镕(ξ)=f(ξ)，從而

注4:定理2是定理1的推廣，特別地，當(dāng)A= f(a)，B=f(b)時(shí)，定理2即為定理1。同理，推論是文獻(xiàn)［4］推論4的推廣，當(dāng)A=f(a)，B=f(b)時(shí)，推論即為文獻(xiàn)［4］推論4。

［1］ 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第三版)［M］.北京:高等教育出版社，2001:212.

［2］ 周民強(qiáng).數(shù)學(xué)分析(第二冊(cè))［M］.上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社，2003:24－39，328.

［3］ 周民強(qiáng).數(shù)學(xué)分析(第一冊(cè))［M］.上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社，2002.

［4］ 伍建華，孫霞林，熊德之.一類積分型中值定理的漸近性討論［J］.西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，37(8):24－27.

［5］ 陳 玉.基于微分中值定理的積分中值定理［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2013，16(6):42－45.