相互依存網(wǎng)絡(luò)間的拓撲構(gòu)建方法

李穩(wěn)國，鄧曙光，楊 冰，肖衛(wèi)初

LI Wenguo,DENG Shuguang,YANG Bing,XIAO Weichu

湖南城市學(xué)院 通信與電子工程學(xué)院，湖南 益陽 413000

School of Communication and Electronic Engineering,Hunan City University,Yiyang,Hunan 413000,China

1 引言

隨著科技的發(fā)展，現(xiàn)代的各種復(fù)雜系統(tǒng)的規(guī)模越來越大，且各個網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)之間彼此作用和相互依存[1-3]。網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)間的相互依存一方面提高了網(wǎng)絡(luò)整體的效率，但也給整個相互依存網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)帶來了更大的脆弱性[4]。由于不同網(wǎng)絡(luò)節(jié)點間相互依存的關(guān)系，當(dāng)一個網(wǎng)絡(luò)或幾個網(wǎng)絡(luò)的部分節(jié)點或邊失效，會導(dǎo)致與之依存的其他網(wǎng)絡(luò)節(jié)點或邊失效，繼而發(fā)生網(wǎng)絡(luò)間的故障相繼，最終導(dǎo)致這些相互依存網(wǎng)絡(luò)整體失效[3]。理解復(fù)雜系統(tǒng)中各子系統(tǒng)間的拓撲構(gòu)建對整個系統(tǒng)魯棒性的影響成為必要。

自2010年文獻[4]在《Nature》上發(fā)表以后，掀起了相互依存網(wǎng)絡(luò)魯棒性研究的熱潮[1-23]，研究主要分為三個方面：網(wǎng)絡(luò)間故障滲流相關(guān)的魯棒性理論研究[1，4-13]；采用增加網(wǎng)絡(luò)中的自治節(jié)點[10，14-15]或保護高度節(jié)點[5]的方法增強相互依存網(wǎng)絡(luò)的魯棒性；構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)間的拓撲結(jié)構(gòu)提高網(wǎng)絡(luò)的魯棒性[3，16-21]；前兩者網(wǎng)絡(luò)間主要采用隨機耦合，本文研究主要針對后者。文獻[3]提出了網(wǎng)絡(luò)間節(jié)點度一致相連的構(gòu)建方法一定程度上提高了相互依存網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，沒有考慮其他相似結(jié)構(gòu)（如網(wǎng)絡(luò)鄰居節(jié)點的相連情況）且只適合子網(wǎng)絡(luò)的平均度相等的場景。文獻[16]提出了網(wǎng)絡(luò)間節(jié)點介數(shù)相近的拓撲構(gòu)建方法，以節(jié)點局部信息為主沒有考慮子網(wǎng)絡(luò)間的全局信息。文獻[17-18]提出了網(wǎng)絡(luò)間節(jié)點匹配系數(shù)相關(guān)的拓撲構(gòu)建方法，并從理論和實驗方面分析了該方法對整個網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)魯棒性的影響，有類似文獻[3]的優(yōu)點和不足。文獻[19]以氣候網(wǎng)絡(luò)為例分析網(wǎng)絡(luò)間拓撲結(jié)構(gòu)對相互依存網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響，并提出多種跨層拓撲測量方法，卻無拓撲構(gòu)建具體方法。文獻[20-21]提出了相互依存網(wǎng)絡(luò)中各子網(wǎng)間相似耦合的拓撲構(gòu)建思想，并采用網(wǎng)絡(luò)間的匹配系數(shù)和簇系數(shù)衡量各子網(wǎng)間的相似程度，但沒有給出具體的網(wǎng)絡(luò)間拓撲構(gòu)建方法。

本文工作主要是借鑒文獻[3，19-21]相關(guān)拓撲耦合思想，定義歸一化度及同地位節(jié)點對相關(guān)理論及擴展網(wǎng)絡(luò)間的匹配系數(shù)和網(wǎng)絡(luò)間的簇系數(shù)等相關(guān)理論，提出一種基于全局考慮的網(wǎng)絡(luò)間同地位節(jié)點耦合的拓撲構(gòu)建方法。并分別以相互依存的隨機網(wǎng)絡(luò)（Erdos-Renyir networks，ER）和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)（Scale-Free networks，SF）作為仿真實例，故障滲流模型采用目的攻擊故障滲流模型（文獻[5]），對比分析隨機耦合和同地位節(jié)點耦合兩種拓撲結(jié)構(gòu)下的相互依存網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。

2 網(wǎng)絡(luò)間拓撲構(gòu)建算法

2.1 相關(guān)測量參數(shù)的定義與擴展

歸一化度、網(wǎng)絡(luò)間的匹配系數(shù)（Inter-Assortativity Coefficient，IAC）、網(wǎng)絡(luò)間的簇系數(shù)（Inter-Clustering Coefficient，ICC）三個參數(shù)是衡量相互依存網(wǎng)絡(luò)中各子網(wǎng)絡(luò)相識程度的量度，能有效判定算法的優(yōu)劣性[19-20]，故將這三個參數(shù)進行定義與擴展如下。

其中，kA，i為 A網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點 i的度，kB，j為 B網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點 j的度。

網(wǎng)絡(luò)間的匹配系數(shù)（Inter-Assortativity Coefficient，IAC）的擴展。單獨網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的度度相關(guān)系數(shù)r（Degree-Degree Correlation Coefficient，DDCC），用于描述節(jié)點間的同類（同地位）匹配程度，又稱匹配系數(shù)，定義如下[22]：

其中e為所有邊的集合，…e為計算所有邊后的平均，j、k邊集合e中任意一條邊兩端節(jié)點的度；-1＜r＜1，若 r＞0，稱為同類匹配（Assortativity），r＜0，稱為非同類匹配（Disassortative）。

文獻[17-21]定義相互依存網(wǎng)絡(luò)間的匹配系數(shù)r和簇系數(shù)C，將單獨網(wǎng)絡(luò)中的度度相關(guān)系數(shù)賦予了新的含義：e為所有相互依存邊的集合為計算所有相互邊后的平均，j、k邊集合e中任意一條相互依存邊兩端分別屬于兩個不同子網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的度。然而這種網(wǎng)絡(luò)間匹配系數(shù)定義的是網(wǎng)絡(luò)間度度相似性，只適合于各子網(wǎng)絡(luò)連接密度（平均度）一致的情景；當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的連接密度不一致時，不能描述網(wǎng)絡(luò)間節(jié)點的相似性。因此，本文擴展定義網(wǎng)絡(luò)間的匹配系數(shù)，使之能適用于普遍的場景，定義如下：

網(wǎng)絡(luò)間的簇系數(shù)（Inter-Clustering Coefficient，ICC）的擴展。文獻[17，21]定義了網(wǎng)絡(luò)間的簇系數(shù)，但此定義只適合網(wǎng)絡(luò)平均度一致的場景，為此本文在此基礎(chǔ)上加以推廣，定義A、B網(wǎng)絡(luò)間單個節(jié)點對的簇系數(shù)如下：

其中，節(jié)點 i∈A，節(jié)點 j∈B，且i、j間存在相互依存邊。整個網(wǎng)絡(luò)間的簇系數(shù)C為所有ci，j的平均。同地位節(jié)點對的定義如下：如果A網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點i與B網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點 j的歸一化度相等，且i、j的網(wǎng)絡(luò)間簇系數(shù)ci，j趨近于1，則稱i、j節(jié)點為同地位節(jié)點對。

2.2 算法描述

為了保證網(wǎng)絡(luò)間的最大化的相似連接，該算法考慮同地位節(jié)點對相連的同時，也最大限度地保證同地位節(jié)點對的鄰居節(jié)點對也相對應(yīng)耦合，為簡化而不失一般性，相互依存網(wǎng)絡(luò)間節(jié)點的配對采用一一對應(yīng)的原則，具體算法如下：

（1）網(wǎng)絡(luò)初始化：通過某種規(guī)則R，比如隨機、擇優(yōu)規(guī)則，分別單獨生產(chǎn)具有N個節(jié)點的網(wǎng)絡(luò) A、B（對于實際網(wǎng)絡(luò)這步驟可免），計算A、B網(wǎng)絡(luò)每個節(jié)點的歸一化度。

（2）分別查找A、B網(wǎng)絡(luò)的最大度節(jié)點并配對相連，并對A、B網(wǎng)絡(luò)以這兩個節(jié)點作為搜索源節(jié)點，采用廣度優(yōu)先（Breadth First Search，BFS）搜索算法順級向下搜索。

（3）在廣度優(yōu)先搜索過程中，分別選擇兩網(wǎng)絡(luò)中同級歸一化度相等且上級已配對最多鄰居的節(jié)點配對相連，如果存在多個節(jié)點對滿足上述條件，則再隨機配對滿足上述的條件的節(jié)點對。

（4）廣度優(yōu)先搜索完后剩余節(jié)點對的匹配：分別選擇兩網(wǎng)絡(luò)中同級歸一化度最相近且已配對最多鄰居的節(jié)點配對相連（歸一化度最相近優(yōu)先）。

（5）終止條件：網(wǎng)絡(luò)間所有節(jié)點都配對相連。

3 仿真實驗

為對上述算法及理論進一步分析與驗證，以VC++6.0進行仿真實驗。仿真實驗主要分為三個部分：（1）計算相互依存網(wǎng)絡(luò)間的匹配系數(shù)和簇系數(shù)，評判此拓撲構(gòu)建算法下 A、B網(wǎng)絡(luò)間的相似對等連接程度；（2）分析不同連接密度下的 p∞與初始剩余節(jié)點比例 p的關(guān)系，分析拓撲構(gòu)建算法下相互依存網(wǎng)絡(luò)故障滲流相變，評價該拓撲構(gòu)建算法下的整個相互依存網(wǎng)絡(luò)的魯棒性；（3）因文獻[17-21]只分析相互依存網(wǎng)絡(luò)間的相似性與網(wǎng)絡(luò)的魯棒性相關(guān)，并沒有給出拓撲構(gòu)建算法不能算法對比，故對比分析本文的相似耦合與隨機耦合下[4-5]算法下相互依存網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。

以下仿真實驗分別以實際中最為常見的相互依存隨機網(wǎng)絡(luò)（ER）與相互依存無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)（SF）作為實例，采用文獻[4-5]的故障滲流模型（攻擊指數(shù)α＞0為目的攻擊；α=0為隨機攻擊或防御，也即文獻[4]隨機攻擊故障滲流模型；攻擊指數(shù)α＜0為目的防御），ER、SF網(wǎng)絡(luò)的總節(jié)點數(shù)N=105；SF網(wǎng)絡(luò)的冪律指數(shù)r=3。p是指初始攻擊A（或B）網(wǎng)絡(luò)(1-p)比例節(jié)點后，剩余的節(jié)點比例[4-5]；p∞是指整個相互依存網(wǎng)絡(luò)故障不再發(fā)生滲流（也即穩(wěn)定后），A或B網(wǎng)絡(luò)中屬于極大簇的節(jié)點占總節(jié)點的比例[1，4-12]。 p∞反映了整個網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，即當(dāng)初始移去的相互依存邊(1-p)相同時 p∞越大意味著網(wǎng)絡(luò)魯棒性越強，p∞突變到的零的拐點處的 p值為滲流閾值pc（見圖1（a））。滲流閾值 pc是整個相互依存網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)最終全部失效時 p的臨界值，pc越小表示網(wǎng)絡(luò)魯棒性越強，反映整個相互依存網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)故障傳播的自組織臨界狀態(tài)，初始攻擊比例(1-p)稍微增大都會導(dǎo)致整個相互依存網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)發(fā)生雪崩災(zāi)變[4-5]。不同的 p值下，p∞連續(xù)變化時，故障滲流相變?yōu)槎S相變，表明網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)魯棒性強；非 p∞連續(xù)變化時為一維相變[14]，表明網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)魯棒性弱，見圖1（a）。

網(wǎng)絡(luò)間的匹配系數(shù)和網(wǎng)絡(luò)間的簇系數(shù)參數(shù)評判算法的優(yōu)劣性的量度，仿真實驗第一部分，運用本文提出的拓撲構(gòu)建算法，建立相互依存網(wǎng)絡(luò)模型，計算網(wǎng)絡(luò)間的匹配系數(shù)r和網(wǎng)絡(luò)間的簇系數(shù)參數(shù)C如下：相互依存的ER網(wǎng)絡(luò)rER=0.85，CER=0.63；相互依存的SF網(wǎng)絡(luò)rSF=1，CSF=0.95。與之相對的：文獻[4-5]的是rER=0，CER=0；rSF=0，CSF=0.01；文獻[3]的是 rER=1，CER=0；rSF=1，CSF=0.01；文獻[20]中提到的最大的是rER=0.71，CER=0.30；rSF=1，CSF=1（此為兩個完全一致網(wǎng)絡(luò)耦合時特例）。綜合測評參數(shù)對比可知，本文提出的拓撲算法是最優(yōu)的。

圖1 不同平均度下，p∞與初始剩余節(jié)點比例p的關(guān)系

仿真實驗第二部分是拓撲構(gòu)建算法下相互依存網(wǎng)絡(luò)故障滲流相變分析（因圖中線過多，本部分實驗不進行對比實驗，詳細的對比實驗見下實驗第三部分滲流閾值 pc對比分析）。圖1是不同平均度＜k＞下，p∞與初始剩余節(jié)點比例 p的關(guān)系，網(wǎng)絡(luò)的平均度是網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點的連接邊數(shù)的平均，反映一個網(wǎng)絡(luò)的連接密度。從圖1可以得知：（1）攻擊后剩余節(jié)點比例 p相同的情況下平均度＜k＞越大，網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定后的極大簇 p∞越大，說明平均度＜k＞越大相互依存網(wǎng)絡(luò)的魯棒性越強；（2）平均度相同的條件下，無論是ER網(wǎng)絡(luò)還是SF網(wǎng)絡(luò)防御越強（α越小）相互依存網(wǎng)絡(luò)的魯棒性越強；（3）對于ER網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)α=-1，＜k＞≥14，故障滲流相變從一維相變完全轉(zhuǎn)變?yōu)槎S相變，對于SF網(wǎng)絡(luò)，當(dāng) α=0，＜k＞≥10(或α=-1，＜k＞≥2)，故障滲流相變從一維相變完全轉(zhuǎn)變?yōu)槎S相變，表明在本文的拓撲構(gòu)建算法下整個相互依存網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)表現(xiàn)極強的魯棒性，且同條件下相比于相互依存的ER網(wǎng)絡(luò)，相互依存的SF網(wǎng)絡(luò)魯棒性更強。

為了把本文拓撲耦合（CCNs）與隨機耦合（RCNs）（見文獻[4-5]）進行比較，設(shè)計第三個仿真實驗（見圖2和圖3）。圖2為不同平均度＜k＞下CRNs與 CCNs的滲流閾值 pc比較，圖3為不同攻擊指數(shù)α下CCNs與RCNs的滲流閾值 pc比較。圖2比較分為三組：α=-1（B CCNs與E RCNs）、α=0（C CCNs與F RCNs）、α=1（D CCNs與G RCNs），從三組結(jié)果比較可知：目的攻擊下(α=1)，兩種算法下相互依存網(wǎng)絡(luò)的魯棒性接近；隨機攻擊下(α=0)和目的防御下(α=-1)，本文拓撲構(gòu)建算法下相互依存網(wǎng)絡(luò)魯棒性的增強效果明顯，特別是針對SF網(wǎng)絡(luò)。從圖3可知：攻擊指數(shù)很大(α＞0)下，兩種算法下網(wǎng)絡(luò)魯棒性接近，當(dāng)攻擊指數(shù)下(α≤0)下，本文算法的更優(yōu)且攻擊指數(shù)越小優(yōu)勢越明顯。從圖2和圖3對比分析可知：通過本文提出的拓撲構(gòu)建算法，同等條件下的攻擊指數(shù)越小，相互依存的SF比ER魯棒性更好，這是因為相互依存的子SF網(wǎng)絡(luò)的較之ER網(wǎng)絡(luò)更為規(guī)則，相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)間的簇系數(shù)參數(shù)C值大，子網(wǎng)絡(luò)間的相似程度更高。

綜合理論與仿真分析表明網(wǎng)絡(luò)間采用同地位節(jié)點相連拓撲構(gòu)建算法能有效提高相互依存網(wǎng)絡(luò)魯棒性，接下來這一結(jié)論做進一步討論。故障滲流理論的重點是當(dāng)網(wǎng)絡(luò)相繼故障發(fā)生形成分裂的簇，其中屬于極大簇的節(jié)點保持原有功能，不屬于極大簇的節(jié)點功能失效[4-10]，首先從滲流理論方面分析網(wǎng)絡(luò)間的相似拓撲構(gòu)建提高相互依存網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)魯棒性的原因。根據(jù)這一理論及結(jié)合文獻[4-5]攻擊模型，假設(shè)當(dāng)其中一個網(wǎng)絡(luò)A的(1-p)比例部分因受到攻擊而失效，因相互依存的原因B網(wǎng)絡(luò)中與A網(wǎng)絡(luò)中失效節(jié)點相連的節(jié)點也失效；同時A、B網(wǎng)絡(luò)剩余的 p比例部分節(jié)點可分為兩部分，一部分是A、B網(wǎng)絡(luò)中的極大簇（網(wǎng)絡(luò)功能有效的子網(wǎng)絡(luò)），一部分為各碎片簇[4]（失效的各子網(wǎng)絡(luò)和）；故障相繼的原因是A網(wǎng)絡(luò)中的碎片簇節(jié)點有連接B網(wǎng)絡(luò)中的極大簇（B對A同樣），且這種情況越多故障滲流越明顯，假設(shè)這種情況不存在（即極大簇節(jié)點連極大簇節(jié)點和碎片簇節(jié)點連碎片簇節(jié)點）網(wǎng)絡(luò)間的相繼故障將不再滲透，這解釋了理想情況下，網(wǎng)絡(luò)完全相同的相互依存的A、B采用完全相似拓撲連接，網(wǎng)絡(luò)間的相繼故障將不再滲流。現(xiàn)考慮網(wǎng)絡(luò)的相似拓撲連接的情況，假設(shè)相似系數(shù)為R（綜合網(wǎng)絡(luò)間的匹配系數(shù)r和網(wǎng)絡(luò)間的簇系數(shù)C取兩者中最小），從平均的效果來看，極大簇節(jié)點連極大簇節(jié)點、碎片簇節(jié)點連碎片簇節(jié)點比例是R，其他情況為(1-R)，當(dāng)相似程度高（R大）時，故障滲流的規(guī)模較之隨機拓撲耦合大為減少，從而提高了相互依存網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)魯棒性。這就解釋同一算法相同參數(shù)條件下，為什么相互依存的SF網(wǎng)絡(luò)比ER網(wǎng)絡(luò)魯棒性更好（見圖1～3的SF與ER網(wǎng)絡(luò)的對比），因為相同條件下，SF網(wǎng)絡(luò)比ER網(wǎng)絡(luò)較為規(guī)則，相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)間的匹配系數(shù)r和網(wǎng)絡(luò)間的簇系數(shù)C更大。文獻[20]在密度完全一致情況下的仿真實驗中也證實這一結(jié)果。其次，本文算法不僅匹配A、B網(wǎng)絡(luò)間地位對等節(jié)點對，同時還保證這已匹配節(jié)點對間的地位對等鄰居節(jié)點對的匹配最大化，此外保證A、B網(wǎng)絡(luò)的最大度節(jié)點（核心節(jié)點對）優(yōu)先匹配耦合也是本算法較優(yōu)的原因之一。另外，相比于與網(wǎng)絡(luò)間的隨機耦合算法及網(wǎng)絡(luò)間度一致耦合算法，本文提出的網(wǎng)絡(luò)同地位節(jié)點對耦合算法更能迎合現(xiàn)實的需要，如智能電網(wǎng)中的電力網(wǎng)絡(luò)與其相依存的信息控制網(wǎng)絡(luò)及鐵路交通網(wǎng)與其依存的信息網(wǎng)絡(luò)、控制網(wǎng)絡(luò)，都表現(xiàn)為一個子網(wǎng)絡(luò)的核心節(jié)點連接另一相互依存的子網(wǎng)核心節(jié)點、不同網(wǎng)絡(luò)間的同地位節(jié)點連接相連。

圖2 滲流閾值pc與平均度的關(guān)系

圖3 滲流閾值pc與α攻擊指數(shù)的關(guān)系

4 結(jié)論

為增強相互依存網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，本文借鑒文獻相關(guān)拓撲耦合思想，定義歸一化度及同地位節(jié)點對相關(guān)理論及擴展網(wǎng)絡(luò)間的匹配系數(shù)和網(wǎng)絡(luò)間的簇系數(shù)等相關(guān)理論，提出一種網(wǎng)絡(luò)間同地位節(jié)點耦合的拓撲構(gòu)建方法，并以相互依存的ER網(wǎng)絡(luò)和相互依存的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)作為實例進行仿真實驗。得到結(jié)論如下：（1）此拓撲構(gòu)建方法下調(diào)節(jié)參數(shù)，網(wǎng)絡(luò)間故障滲流相變將從一維非連續(xù)相變轉(zhuǎn)變?yōu)槎S連續(xù)相變到；（2）相比于隨機拓撲耦合網(wǎng)絡(luò)在隨機攻擊、目的攻擊及防御情況下，該拓撲耦合下的相互依存網(wǎng)絡(luò)的魯棒性均明顯增強：（3）相比于相互依存的ER網(wǎng)絡(luò)，相互依存的SF網(wǎng)絡(luò)在此拓撲構(gòu)建方法下的效果較優(yōu)。

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