長航時捷聯慣導重力擾動影響及補償

叢 琳，趙 忠，楊小步

CONG Lin,ZHAO Zhong,YANG Xiaobu

西北工業大學 自動化學院，西安 710129

School of Automation,Northwestern Polytechnical University,Xi’an 710129,China

1 引言

捷聯慣導系統的誤差隨時間積累，在要求持續工作幾十個小時以上的長航時慣性導航系統中這一特性表現得尤為突出。一些在短航時內忽略掉的慣導誤差源隨著高精度慣性器件的發展和工作時間的延長而引起慣導系統較大的誤差，并成為主要的誤差源，重力擾動就是其中一項[1-5]。在傳統導航解算時通常采用正常重力作為重力有害加速度的補償，在慣性器件精度不高的情況下，重力擾動的影響可以忽略[6-7]。但隨著高精度慣導系統的發展，慣性元件陀螺和加速度計自身的精度得到了極大的提高，在長時間航行的高精度慣性導航系統中由重力擾動導致的慣導誤差已經成為了慣性系統中最主要的誤差源[8]，必須要進行重力擾動補償。Vanderwerf等[9]分析了在重力擾動很大的航線上其對慣導的影響，但僅驗證了速度誤差的影響；堯穎婷等[10]驗證了重力擾動的水平分量對捷聯慣導誤差的影響，但并沒有對重力擾動進行補償；李勝全等[11]仿真分析重力擾動矢量補償對慣導精度的提高效果，但假設重力異常與垂線偏差為均勻分布，且補償后的重力擾動為常值，這個假設條件太過理想。本文從導航解算的角度出發，分析長航時捷聯慣導系統誤差受重力擾動的影響，在此基礎上對重力擾動進行非均勻B樣條建模并對導航解算過程進行補償，仿真結果表明了非均勻B樣條建模的正確性以及重力擾動補償的有效性。

2 重力擾動對捷聯慣導影響

重力作為慣導系統有害加速度通過加速度計感測進入慣導系統，在導航解算中，重力補償之后的殘余重力將產生慣導誤差，系統殘余重力可表示為實際重力與正常重力之差，即為重力擾動：

式中，g為實際重力，γ為正常重力，δg為重力擾動。本文從捷聯慣導解算更新出發，分別分析了重力擾動對姿態、速度和位置的影響。

導航坐標系（n系）選用地理坐標系東、北、天（ENU）；b為載體坐標系；i是慣性坐標系；e表示地心地固坐標系。

2.1 捷聯慣導姿態誤差分析

在捷聯慣導姿態更新中，根據文獻[12]可知姿態誤差方程為：

式中δKG為陀螺刻度系數誤差，δG為陀螺安裝角誤差，?表示姿態角誤差為坐標系轉換矩陣，為陀螺輸出，εn為陀螺漂移在導航坐標系中的投影，為指令角速度誤差，且：

式中L為所在地的緯度，RM、RN、h依次為載體所在地的子午圈半徑、卯酉圈半徑和海拔高度。

根據式（2）可知，引起姿態誤差的主要誤差源有陀螺輸出誤差，除陀螺誤差之外的誤差源是通過速度位置的耦合關系而作用于姿態的，表現于項。現從捷聯慣導速度更新的速度誤差源進行分析。

2.2 捷聯慣導速度更新誤差分析

捷聯慣導解算時系統的速度更新誤差方程為：

式中，δKA為加速度計刻度系數誤差，δA為加速度計安裝角誤差，fn表示加速度計輸出，?n為加速度計零偏在導航坐標系下的投影，δgn為重力擾動。

由式（6）可知，引起捷聯慣導系統速度誤差的誤差源主要有加速度計輸出誤差([δKA]+[δA])fn+?n，前一時刻累積的速度誤差δVn，速度位置的耦合誤差以及重力擾動δgn的影響。

2.3 捷聯慣導位置更新誤差分析

捷聯慣導解算時系統的位置更新誤差方程為：

式中L、λ分別為地理緯度和經度。

由式（8）可知，引起位置誤差的主要誤差源為前一時刻的累積速度誤差δVn以及速度位置的耦合誤差。

經過上面分析可以發現：重力擾動可以通過式（6）引起捷聯慣導的速度更新誤差，速度誤差將通過式（8）造成系統位置更新誤差，進而通過式（2）引起捷聯慣導系統的姿態誤差，并且慣導誤差隨著時間的增加還會發散。

3 重力擾動補償

根據前面的分析可以看出，在傳統捷聯慣導中，重力加速度的補償是影響慣導精度的一個關鍵因素，一般可以根據地球正常重力模型得到的正常重力矢量進行補償。但在長航時高精度捷聯慣導系統中，重力擾動對慣導解算的影響不可忽略，必須針對重力擾動矢量進行重力補償。

在進行重力擾動補償的時候，需將其分解到北向、東向和垂向。北向分量和東向分量可用垂線偏差表示，即

式中ξ為南北方向垂線偏差，η為東西方向垂線偏差，g0為正常重力值，Δg為重力異常，N為水準面高度，R為地球半徑。

重力異常Δg通過比力方程進入慣導系統后作用于系統的高度通道，對水平定位精度影響不大[13]，且由于高度通道是發散的，則在捷聯慣導系統中，重力異常的影響一般可忽略不計[14]。而垂線偏差對水平方向的定位誤差影響較大，一般地區的垂線偏差在10″左右，個別地區可以達到30″以上[15]，這在慣導系統中引起的水平位置誤差在百米甚至千米以上，因此需要對其進行全面分析及補償。下文的重力擾動補償指的是對垂線偏差的補償。

重力擾動補償是在垂線偏差模型的基礎上對重力擾動的補償。在實際導航中，實時測量所有導航點的垂線偏差是不實際的，所以需要根據已知點的垂線偏差運用插值補償算法或其他算法估測未知點的垂線偏差，輔助慣性導航。而重力擾動在實際中的分布往往是不規則的，需要非均勻網格數據。所以本文采用非均勻B樣條最小二乘法對局部計算區域垂線偏差進行二維整體逼近，此方法能保證在垂線偏差局部特性不失真的前提下獲得計算區域垂線偏差的統一解析式，同時解得的垂線偏差具有連續性。

3.1 非均勻B樣條最小二乘法

對于二維區域[0 ≤x≤a，0≤y≤b]，在 x方向插入等分節點：Δx:0=x0＜x1＜…＜xn=a。那么，在 x方向上的B樣條函數[16]可表示為：

式中 Bi，μ(x)為B樣條基函數，可表示為：

從式（10）（11）中可以看出，B樣條函數在每段區間上的部分只與相鄰部分控制頂點有關，某一控制頂點的變動只會造成局部形狀的變化，并不會影響整體的模型變動，這樣，各段曲線就具有了相對的獨立性。

同理，在 y方向上插入等分點Δy:0=y0＜y1＜…＜yn=b。在 y方向的B樣條函數為：

那么，二維區域xy平面的B樣條[17]可寫成Bx與By的張量積形式：

此時，根據已知節點矢量和數據點的參數值，通過式（13）便可以建立非均勻B樣條模型S(x，y)，全體 S(x，y) 即構成一個線性空間，接下來就可以求解未知控制頂點的線性最小二乘問題了，即在此空間中找出合適的S(x，y)使得其滿足：

式中gk為實際得到的垂線偏差數據。即運用最小二乘法，令：

整理后可得：

求取范數極小解 ci，j，將得到的唯一系數 ci，j帶入到式（13）中即為所求的非均勻B樣條模型。

3.2 重力擾動補償

運用上述非均勻B樣條最小二乘法計算得到的重力擾動δg，補償到原系統比力方程中再進一步進行導航解算，其原理流程簡圖如圖1所示。

圖1 導航解算原理圖

4 仿真分析

4.1 重力擾動建模仿真

仿真條件：仿真模擬區域數據來自美國國家大地數據測量局提供的美國本土24°～58°N、230°～300°E，1'×1'的垂線偏差網格數據，根據已知數據可得真實垂線偏差如圖2，表1所示。

圖2 垂線偏差變化各向分量

表1 垂線偏差真實值

采用B樣條建立模型時，將模擬區域分成9個小區，各區選擇30個點來保證已知點盡量分散，采用非均勻B樣條進行仿真，所得各向垂線偏差如圖3，表2所示。

圖3 采用B樣條建模垂線偏差變化各向分量

表2 采用B樣條建模計算垂線偏差值

利用模型計算值對真實值進行補償，所得誤差如圖4，表3所示。

圖4 B樣條建模補償后垂線偏差誤差

表3 補償后垂線偏差誤差值

由仿真結果可以發現：未經重力補償時垂線偏差真實值最大可達到7″左右，當采用非均勻B樣條最小二乘法建模時，垂線偏差各向分量與真實值相近，將非均勻B樣條建模得到的垂線偏差與真實垂線偏差值進行補償求差后，誤差極值僅在1″左右，有較好的重力補償效果，說明采用非均勻B樣條方法可以對局部區域垂線偏差進行二維整體逼近，在局部特性不失真的情況下具有連續性。此方法的補償精度明顯高于文獻[18]中采用的EGM2008（2 190階）模型計算出來的垂線偏差精度，說明采用非均勻B樣條進行重力擾動建模是非常有效的。

4.2 重力擾動對慣導補償仿真

仿真條件：陀螺常值漂移0.001（°）/h，隨機游走系數為0.000 2（°）/h，加速度計常值偏置為10×10－6g，零均值白噪聲為5×10－6g，導航解算周期為0.02 s，無初始對準誤差，仿真過程中可忽略掉高度通道的影響，即δh=0。仿真時長為24 h。仿真中利用提供的1'×1'網格數據插值后得到網格區域內的垂線偏差數據來模擬實際重力擾動，加入到慣導系統中可以得到無重力擾動補償時捷聯慣導誤差如圖5所示。采用上述非均勻B樣條補償的方法，進行重力擾動補償后，可以得到捷聯慣導系統誤差如圖6所示。

圖5 無重力擾動補償慣導系統誤差

圖6 重力擾動補償后慣導系統誤差

由仿真結果可以發現：未經重力擾動補償的導航解算所得到的位置誤差范圍為-480～330 m，采用B樣條重力擾動補償后，導航定位精度有了明顯提高，位置誤差范圍縮減到-210～210 m，同時速度誤差也有了明顯地減小，由此可以看出重力擾動造成的慣導位置誤差最大可以達到200 m以上，這與慣性器件造成的誤差基本達到了一個量級，所以必須要進行重力擾動補償。此方法明顯優于文獻[19]中提到的直接線性插值重力補償方法。由以上分析可以說明，采用非均勻B樣條方法進行重力擾動補償可更有效地提高慣導精度。

5 結束語

（1）隨著高精度慣性器件的發展以及慣導工作時間的延長，重力擾動會引起較大的慣導誤差，成為捷聯慣導系統的主要誤差源，必須要對其進行適當補償，以保證慣導系統在較高的精度范圍內工作。

（2）在進行重力擾動補償時，無法精確獲得所有點的垂線偏差數值，需要建立相關的重力擾動模型，采用非均勻B樣條方法可以保證在垂線偏差局部特性不失真的前提下進行二維整體逼近，利用所求重力模型對慣導系統補償可以有效地提高慣導精度。

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