由一題四解淺析解三角形

齊志華

摘 要：解三角形是高中數學重點內容之一。解題主要依據是正弦及余弦定理，但解題方法靈活多樣，僅以一道例題四種解法進行簡要分析。

關鍵詞：解三角形；正余弦定理；多種分析方法

一、正弦定理和余弦定理是解三角形的關鍵

1.正弦定理■=■=■=2R（R為△ABC外接圓半徑），推廣：

（1）a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC（邊化角）

（2）sinA=■ sinB=■ sinC=■（角化邊）

2.余弦定理c2=a2+b2-2abcosC（求邊，另兩個略），推廣：cosC=■（求角）

以上是兩定理的內容和推廣，它揭示了任意三角形邊角之間的規律。利用兩定理可求三角函數的值，可求三角形的內角和邊，判定三角形的形狀，綜合考查三角變換以及深化三角形和平面向量等多種知識的運用能力，當然這也是高中數學的主要精髓之一。

二、舉例分析

說明：由于篇幅有限，例子中圖形已省略，個別步驟作了簡化。

例子：在△ABC中，AB=4，cosB=■，AC邊上的中線BD=■，求sinA的值.

解法一：設M為BC的中點，則DM∥AB，且DM=2。在△BDM中，cos∠BMD=cos（180°-∠ABC）=-■，由余弦定理，得：（■）2=BM2+22-2×2×（-■）.BM解得BM=3，BM=-5（舍去）。

則BC=6，由AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=28

得AC=2■，又由正弦定理■=■，得：sinA=■

解法二：作AE⊥BC，垂足為E，延長BD到M，使DM=BD，再作MF⊥BC，垂足為F，則BE=AB·cosB=2，并且AE=2■·BF=■=8，而CF=BE=2，所以BC=BF-CF=6又EC=4，所以AC=■=2■

在△ABC中，由正弦定理，得：sinA=■

解法三：延長BD至M，使DM=BD，連接AM，CM，則ABCM為平行四邊形。

于是∠BAM=180°-∠ABC，在△ABM中，由余弦定理，得： （2■）2=42+BC2-2×4·BC·（-■）

解得BC=6。再根據解法一求出AC，最后得：sinA=■

解法四：以B為原點，向量■為x軸建立直角坐標系，由sinB=■，得：向量■=（4·cosB，4·sinB）=（2，2■）.設■=（x，0），則向量■=（■，■），從而向量■的模=■=■解得x=6，于是向量■=（-4，2■），所以根據兩向量夾角公式，有：■·■=■·■·cosA，得cosA=■，故sinA=■=■（負值舍去，需討論）

三、簡評

1.所有三角形的邊角變換，其實就是有條件限制的三角關系式的計算與證明，在三角形的三角變換中，正余弦定理、勾股定理和直角三角形中的邊角關系都是解題的關鍵，通過本例可以看出。

2.解三角形的有關問題，常常需作一些輔助線。如解法一中的中位線，解法二和解法三中的延長線都是解三角形中常作的輔助線，應引起學生學習的足夠重視。如果不作輔助線，解題方法就受局限，甚至造成解不出的可能。

3.通過建立適當直角坐標系，利用向量或點坐標的工具解答有關邊角的問題，這也是解三角形中常用的方法。本例解法四就是用解析幾何知識解決純平面幾何問題的典例，希望對學生有所啟迪。

4.當然，解三角形有時還要用到兩角和公式、倍角公式、半角公式、和差化積、積化和差公式、推導公式、兩點間距離公式等諸多公式，希望學生靈活運用，以不變應萬變。

5.解三角形其主要作用是解決在實際生活中的一些應用。常見有距離、高度、角度及平面圖形的面積等計算與測量問題，希望學生學習時要有應用意識與動手能力，做到學有所用。

另外，本題還可繼續探討，例如，作△ABC的外接圓或利用點坐標法是否可解。感興趣的學生可以試試。總之，解一般三角形萬變不離其宗，其要領都是平面幾何與正余弦定理兩方面知識的結合。

（作者單位 遼寧省本溪市機電工程學校）

編輯 馬燕萍