軸向剪切條件下功能梯度圓柱形復合材料的界面開裂問題研究

李永東，熊 濤，張 男

(1．裝甲兵工程學院機械工程系，北京100072;2．裝甲兵工程學院基礎部，北京100072)

層合柱是工程中廣泛應用的一類典型復合材料。最簡單的傳統層合柱由2種不同的均勻材料粘接而成，在外載荷作用下，其界面附近往往存在應力集中。當應力集中程度很高時，界面甚至可能出現開裂［1］。在這方面，學術界早已達成共識，認為此類界面出現應力集中甚至開裂的主要原因是材料性能參數在界面處不連續［2］。近年來，工程中設計制造出了功能梯度層合柱，其不同層的材料性能參數在界面處連續過渡，因而具有更高的抗界面開裂能力［3-4］。制造功能梯度層合柱的目的除了提高界面抗斷裂能力外，還可能是為了改善層合柱的某種性能。例如:在受摩擦作用的軸段表面噴涂功能梯度耐磨涂層，不但可以改善涂層與軸體之間的結合性能，還可以提高該軸段抵抗摩擦的能力。相對于傳統均勻材料而言，功能梯度材料的一大優勢就是其可設計性。因此，為了提高功能梯度層合柱的界面結合性能，有必要對其開展斷裂力學研究，利用斷裂力學分析結果對其進行結構與性能優化設計。筆者等［5］對外覆功能梯度涂層的實心圓柱開展了斷裂力學分析，研究了徑向正應力作用下的Ⅰ-Ⅱ混合型界面裂紋問題，得到了該圓柱的外覆功能梯度涂層優化設計結果。對實際的層合柱界面而言，除了受徑向正應力作用外，還可能會受軸向剪切作用。在軸向剪切條件下，功能梯度層合柱的界面具有怎樣的斷裂力學行為，如何對層合柱的功能梯度層進行優化設計，在文獻［5］的基礎上，本文繼續研究軸向剪切條件下外覆功能梯度涂層實心圓柱界面的開裂問題，從材料性能參數分布和幾何尺寸選取2方面尋求較優的設計結果。

1 理論模型

圖1為功能梯度圓柱形復合材料界面開裂的理論模型。該復合材料置于無限大剛性基體中，內層為均勻實心圓柱，外層為功能梯度涂層，涂層內、外半徑分別為r1和r2。在界面上有一條圓心角為2α的弧形裂紋，以復合材料橫截面圓心o為原點，令x軸通過裂紋中心，分別建立直角坐標系和相應的極坐標系，則裂紋所占據的極角范圍為［-α，α］，且整個結構關于x軸對稱。

假設圓柱和涂層分別為各向同性線彈性材料，則在軸向剪切條件下其本構方程可統一表示為

圖1 功能梯度圓柱形復合材料界面開裂的理論模型

式中:i=1，2，其中1用于標志圓柱中的量，2用于標志涂層中的量;τ為切應力;w為軸向位移;μ為剪切模量。圓柱為均勻線彈性材料，其剪切模量μ1為常數。涂層為功能梯度材料，其剪切模量沿厚度方向連續變化，假設為徑向坐標r的冪函數［5］，則

式中:β為涂層的非均勻性參數，且無量綱。

軸向剪切條件下圓柱和涂層的平衡方程為

將式(1)代入式(3)，并考慮式(2)，可得控制方程為

式中:δ2i為Kronecker符號，當其2個下標相同時，值取1，否則取0。

在軸向剪切條件下，假設裂紋面上的等效切應力為-τ0。由于圖1所示的斷裂問題關于x軸對稱，所以下面僅研究復合材料橫截面的上半部分。該問題的邊界條件和連續性條件為

2 奇異積分方程

考慮問題的對稱性，利用分離變量法［6］求解式(4)，可得滿足式(5)中定解條件的位移場的解為

將式(10)代入式(1)可得應力場(略)。然后，將位移場和應力場代入式(6)、(7)，可得

3 數值計算與討論

本文中，假設r1=30 mm，μ1=4．4 ×1010N/m2。在具體求解無量綱應力強度因子的數值之前，需首先明確其計算精度。

3．1 計算精度

無量綱應力強度因子的計算精度主要取決于無量綱核函數R(?，ζ)的計算精度和求積節點數m的取值。

本文中，R(?，ζ)為無窮級數，其無窮求和區間［1，+∞)在數值計算中被截斷為有限區間［1，N］，因此，R(?，ζ)的計算精度主要取決于N的取值。具體計算中需根據 R(?，ζ)的收斂性選取N。當ζ =-1，? =cos(3π/40)，α = π/6，β =2，r2/r1=1．2時，N對R(?，ζ)收斂誤差的影響如表1所示。可見:N=2 500時，R(?，ζ)的收斂誤差已小于1．0×10-5。在后續計算中，以 1．0 ×10-5作為 R(?，ζ)的收斂誤差，反過來確定具體計算中所需的N值。

求積節點數m的值需根據無量綱應力強度因子的收斂性來選取。當 N=2 500，ζ=-1，? =cos(3π/40)，α = π/6，β =2，r2/r1=1．2時，m 對無量綱應力強度因子收斂誤差的影響如表2所示。可見:當m≥20時，無量綱應力強度因子的收斂誤差已小于1．0 ×10-4。在后續計算中，以1．0 ×10-4作為無量綱應力強度因子的收斂誤差，反過來確定具體計算中所需的m值。值得注意的是:為了減小計算中的累積誤差［3］，這里設定 R(?，ζ)的收斂誤差小于無量綱應力強度因子的收斂誤差。

表1 N對R(?，ζ)收斂誤差的影響

表2 m對無量綱應力強度因子收斂誤差的影響

3．2 幾何參數對無量綱應力強度因子的影響

本節主要討論在中心圓柱半徑r1給定的條件下，功能梯度涂層厚度和裂紋中心角2方面的幾何因素對無量綱應力強度因子的影響。分別以r2/r1和α作為相應的幾何參數，它們對無量綱應力強度因子的影響規律分別如圖2、3所示。

圖2 r2/r1對無量綱應力強度因子的影響

圖3 α對無量綱應力強度因子的影響

由圖1可知:當r2/r1→1．0時，涂層厚度趨于0;當r2/r1＞1．0時，其值越大，則涂層越厚。由圖2可見:隨著r2/r1從1．0開始增大，無量綱應力強度因子逐漸增大。這一變化規律是由圖1中復合材料的約束方式決定的。由于固定邊界對其附近區域內的裂紋存在屏蔽作用［7］，所以，當圖1所示的復合材料置于剛性基體之中(即外表面固定)時，涂層越薄，則界面裂紋越靠近固定邊界，其所受的屏蔽作用越顯著，其無量綱應力強度因子也會越小;反之，無量綱應力強度因子會越大。由此可見:在外表面固定的條件下，圖1中的功能梯度涂層宜薄而不宜厚。

由圖3可見:1)無量綱應力強度因子隨α的增大而增大，在r1給定的條件下，α越大，則界面裂紋越長，在其他條件不變的情況下，裂紋越長，則無量綱應力強度因子越大，這是符合斷裂力學規律的;2)涂層厚度不同，無量綱應力強度因子隨α變化的劇烈程度也不同，涂層越薄，無量綱應力強度因子隨α增大得越緩慢。這再次表明:在外表面固定的條件下，圖1中的功能梯度涂層宜薄而不宜厚。

3．3 非均勻性參數對無量綱應力強度因子的影響

圖4 非均勻性參數對無量綱應力強度因子的影響(α=π/6)

當α=π/6，功能梯度涂層的非均勻性參數β對無量綱應力強度因子的影響規律如圖4所示，可見:β越大，無量綱應力強度因子越小。根據式(2)，功能梯度涂層的剛度分布情況如圖5所示。顯然，當β=0時，涂層為均勻材料;當β＞0時，涂層內側較軟而外側較硬;當β＜0時，涂層內側較硬而外側較軟。綜合分析圖4、5，可得出如下結論:當涂層內側較軟而外側較硬時，界面裂紋的無量綱應力強度因子較低。因此，對于圖1所示的外表面剛性固定的功能梯度涂層復合材料，當式(2)中的非均勻性參數選取相對較大的正值時，將有利于減小界面的斷裂驅動力。

圖5 功能梯度涂層的剛度分布情況

4 結論

針對外覆功能梯度涂層的圓柱形復合材料在軸向剪切作用下的界面開裂問題，本文通過斷裂力學分析得到了幾何參數和非均勻性參數的優化設計結果。即在涂層外表面固定的條件下，以下2種途徑都有利于預防界面開裂:1)降低涂層厚度;2)設計內側軟而外側硬的涂層。本文僅僅研究了靜態工況下該類復合材料置入剛性基體中的情況，在實際工程應用中，可能會存在其他的工況條件，其外表面也可能受到其他約束作用。在不同的工況和約束條件下，功能梯度涂層界面將具有不同的斷裂力學行為特征，相關規律尚需進一步研究。

［1］ Li Y D，Lee K Y．Fracture Analysis on the Arc-shaped Interface in a Layered Cylindrical Piezoelectric Sensor Polarized along Its Axis［J］．Engineering Fracture Mechanics，2009，76(13):2065-2073．

［2］ Li Y D，Jia B，Zhang N，et al．Dynamic Stress Intensity Factor of the Weak/Micro-discontinuous Interface Crack of a FGM Coating［J］．International Journal of Solids and Structures，2006，43(16):4795-4809．

［3］ Li Y D，Lee K Y．Anti-plane Shear Fracture of the Interface in a Cylindrical Smart Structure with Functionally Graded Magnetoelectroelastic Properties［J］．Acta Mechanica，2010，212(1/2):139-149．

［4］ 李婷，仲政，聶國雋．一種特殊梯度分布的功能梯度圓柱殼的二維分析［J］．力學季刊，2007，28(4):549-556．

［5］ Li Y D，Zhang N，Lee K Y．Fracture Analysis on the Arc-shaped Interfacial Crack Between a Homogeneous Cylinder and Its Coating［J］．European Journal of Mechanics A/Solids，2010，29(5):794-800．

［6］ Li Y D，Lee K Y．Fracture Analysis on the Arc-shaped Interface in a Layered Cylindrical Piezoelectric Sensor Polarized along Its Axis［J］．Engineering Fracture Mechanics，2009，76(13):2065-2073．

［7］ Feng F X，Lee K Y，Li Y D．Multiple Cracks on the Arc-shaped Interface in a Semi-cylindrical Magneto-electro-elastic Composite with an Orthotropic Substrate［J］．Engineering Fracture Mechanics，2011，78(9):2029-2041．