三力平衡問題的解法探究

尹明德+劉貴珍+樊建峰

物體受三個互成一定夾角的共點力作用而平衡的問題，可用平衡條件∑F=0解答，也可用正交分解法解答，還可用弦定理解答。這類題的解答方法靈活多變，能有效考查學生的分析能力，有時是高考命題的重點。當以學生熟知的二力平衡思想及初等數學知識為出發點思考時，常見方法有：

（1）合成法：是將三力平衡變為二力平衡，如圖1所示，將F1、F2合成為F12，則F12與F3是一對平衡力。還有兩種合成法這里不再列出。

（2）分解法：是將三力平衡變為兩對平衡力，如圖2所示，將F3沿另外兩個力的反方向分解為F31和F32（當另外兩力互相垂直時，F3的分解就是正交分解了！），則F31=F1，F32=F2是兩對平衡力。

【例1】 如圖3所示，一個半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O是球心，碗的內表面光滑。一根輕質桿的兩端固定有兩個小球，質量分別是m1、m2，當它們靜止時，m1、m2與球心的連線跟水平面分別成60°、30°，則兩小球m1、m2的質量大小之比是（ ）。

（4）相似三角形法：應用時，應先分析物體的受力，再由合成法或分解法畫出力的矢量三角形，而后尋找與力的三角形相似的幾何三角形，由兩三角形相似，來建立對應邊的比例關系求解。

【例2】 如圖5所示，一輕桿兩端固定兩個小球A、B，mA=4mB，跨過定滑輪連接A、B的輕繩長為L，求平衡時OA、OB分別為多長？

解析：采用隔離法分別以小球A、B為研究對象進行受力分析，如圖6所示，可以看出如果用正交分解法列方程求解，要已知各力的方向，求解麻煩。此時用相似三角形法就相當簡單。

由（1）（2）（3）解得：L1=L/5，L2=4L/5。

（5）動態平衡問題：所謂動態平衡問題是指通過控制某些變量，使物體發生緩慢的變化，而這個過程中物體始終處于準平衡狀態，解答方法有，①圖解法：對研究對象在狀態變化過程中的若干狀態進行受力分析，依據某一參量的變化，在同一圖中作出若干狀態下的平衡矢量圖，再由邊角變化關系確定某些力的大小及方向的變化情況（要能熟練運用它）；②代數解析法：對研究對象的任一狀態進行受力分析，建立平衡方程和幾何關系，求出因變量與自變量的一般函數關系，然后根據自變量的變化情況確定因變量的變化情況。

【例3】 如圖7所示，在滅火搶險過程中，消防隊員有時要借助消防車上的梯子爬到高處進行救人或滅火，已知梯子的下端放置在粗糙的車廂表面上，上端靠在摩擦力很小的豎直玻璃幕墻上。在消防隊員沿梯子勻速向上爬的過程中，下列說法正確的是（ ）。

解析：以梯子及消防隊員為整體進行受力分析，墻對梯子的彈力N1、人梯總重力mg及車廂對梯子的作用力F（箱底對梯子的支持力N2和靜摩擦力f和合力），隨著人的重心沿梯上移：N2=mg不變，但f增大，使得F也增大，由N1=f知，N1也增大，A、B選項均錯；三個力（N1、mg、F）必定相交于一點，且這一點沿N1的反方向向右移動（θ在減小，cosθ在增大），如圖8所示，由N1=Fcosθ可知墻對梯子的彈力在增大。

對消防車、人及梯子整體受力分析：水平向右有地面對車的靜摩擦力f地，且f地=N1，N1增大，故f地也在增大，C選項正確；豎直方向有：整體的重力G被地面對車的彈力N地平衡，即N地=G，D選項正確。

【例4】 如圖10所示，一水平導軌處于與水平方向成θ=45°向左上方的勻強磁場中，一根通有恒定電流的金屬棒，由于受到安培力的作用在粗糙的導軌上，向右做勻速運動。現將磁場沿順時針方向緩慢轉動至豎直向上，在此過程中，金屬棒始終保持勻速運動，已知棒與導軌間的動摩擦因數μ<1，則磁感應強度B的大小變化情況是（ ）。endprint

物體受三個互成一定夾角的共點力作用而平衡的問題，可用平衡條件∑F=0解答，也可用正交分解法解答，還可用弦定理解答。這類題的解答方法靈活多變，能有效考查學生的分析能力，有時是高考命題的重點。當以學生熟知的二力平衡思想及初等數學知識為出發點思考時，常見方法有：

（1）合成法：是將三力平衡變為二力平衡，如圖1所示，將F1、F2合成為F12，則F12與F3是一對平衡力。還有兩種合成法這里不再列出。

（2）分解法：是將三力平衡變為兩對平衡力，如圖2所示，將F3沿另外兩個力的反方向分解為F31和F32（當另外兩力互相垂直時，F3的分解就是正交分解了！），則F31=F1，F32=F2是兩對平衡力。

【例1】 如圖3所示，一個半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O是球心，碗的內表面光滑。一根輕質桿的兩端固定有兩個小球，質量分別是m1、m2，當它們靜止時，m1、m2與球心的連線跟水平面分別成60°、30°，則兩小球m1、m2的質量大小之比是（ ）。

（4）相似三角形法：應用時，應先分析物體的受力，再由合成法或分解法畫出力的矢量三角形，而后尋找與力的三角形相似的幾何三角形，由兩三角形相似，來建立對應邊的比例關系求解。

【例2】 如圖5所示，一輕桿兩端固定兩個小球A、B，mA=4mB，跨過定滑輪連接A、B的輕繩長為L，求平衡時OA、OB分別為多長？

解析：采用隔離法分別以小球A、B為研究對象進行受力分析，如圖6所示，可以看出如果用正交分解法列方程求解，要已知各力的方向，求解麻煩。此時用相似三角形法就相當簡單。

由（1）（2）（3）解得：L1=L/5，L2=4L/5。

（5）動態平衡問題：所謂動態平衡問題是指通過控制某些變量，使物體發生緩慢的變化，而這個過程中物體始終處于準平衡狀態，解答方法有，①圖解法：對研究對象在狀態變化過程中的若干狀態進行受力分析，依據某一參量的變化，在同一圖中作出若干狀態下的平衡矢量圖，再由邊角變化關系確定某些力的大小及方向的變化情況（要能熟練運用它）；②代數解析法：對研究對象的任一狀態進行受力分析，建立平衡方程和幾何關系，求出因變量與自變量的一般函數關系，然后根據自變量的變化情況確定因變量的變化情況。

【例3】 如圖7所示，在滅火搶險過程中，消防隊員有時要借助消防車上的梯子爬到高處進行救人或滅火，已知梯子的下端放置在粗糙的車廂表面上，上端靠在摩擦力很小的豎直玻璃幕墻上。在消防隊員沿梯子勻速向上爬的過程中，下列說法正確的是（ ）。

解析：以梯子及消防隊員為整體進行受力分析，墻對梯子的彈力N1、人梯總重力mg及車廂對梯子的作用力F（箱底對梯子的支持力N2和靜摩擦力f和合力），隨著人的重心沿梯上移：N2=mg不變，但f增大，使得F也增大，由N1=f知，N1也增大，A、B選項均錯；三個力（N1、mg、F）必定相交于一點，且這一點沿N1的反方向向右移動（θ在減小，cosθ在增大），如圖8所示，由N1=Fcosθ可知墻對梯子的彈力在增大。

對消防車、人及梯子整體受力分析：水平向右有地面對車的靜摩擦力f地，且f地=N1，N1增大，故f地也在增大，C選項正確；豎直方向有：整體的重力G被地面對車的彈力N地平衡，即N地=G，D選項正確。

【例4】 如圖10所示，一水平導軌處于與水平方向成θ=45°向左上方的勻強磁場中，一根通有恒定電流的金屬棒，由于受到安培力的作用在粗糙的導軌上，向右做勻速運動。現將磁場沿順時針方向緩慢轉動至豎直向上，在此過程中，金屬棒始終保持勻速運動，已知棒與導軌間的動摩擦因數μ<1，則磁感應強度B的大小變化情況是（ ）。endprint

物體受三個互成一定夾角的共點力作用而平衡的問題，可用平衡條件∑F=0解答，也可用正交分解法解答，還可用弦定理解答。這類題的解答方法靈活多變，能有效考查學生的分析能力，有時是高考命題的重點。當以學生熟知的二力平衡思想及初等數學知識為出發點思考時，常見方法有：

（1）合成法：是將三力平衡變為二力平衡，如圖1所示，將F1、F2合成為F12，則F12與F3是一對平衡力。還有兩種合成法這里不再列出。

（2）分解法：是將三力平衡變為兩對平衡力，如圖2所示，將F3沿另外兩個力的反方向分解為F31和F32（當另外兩力互相垂直時，F3的分解就是正交分解了！），則F31=F1，F32=F2是兩對平衡力。

【例1】 如圖3所示，一個半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O是球心，碗的內表面光滑。一根輕質桿的兩端固定有兩個小球，質量分別是m1、m2，當它們靜止時，m1、m2與球心的連線跟水平面分別成60°、30°，則兩小球m1、m2的質量大小之比是（ ）。

（4）相似三角形法：應用時，應先分析物體的受力，再由合成法或分解法畫出力的矢量三角形，而后尋找與力的三角形相似的幾何三角形，由兩三角形相似，來建立對應邊的比例關系求解。

【例2】 如圖5所示，一輕桿兩端固定兩個小球A、B，mA=4mB，跨過定滑輪連接A、B的輕繩長為L，求平衡時OA、OB分別為多長？

解析：采用隔離法分別以小球A、B為研究對象進行受力分析，如圖6所示，可以看出如果用正交分解法列方程求解，要已知各力的方向，求解麻煩。此時用相似三角形法就相當簡單。

由（1）（2）（3）解得：L1=L/5，L2=4L/5。

（5）動態平衡問題：所謂動態平衡問題是指通過控制某些變量，使物體發生緩慢的變化，而這個過程中物體始終處于準平衡狀態，解答方法有，①圖解法：對研究對象在狀態變化過程中的若干狀態進行受力分析，依據某一參量的變化，在同一圖中作出若干狀態下的平衡矢量圖，再由邊角變化關系確定某些力的大小及方向的變化情況（要能熟練運用它）；②代數解析法：對研究對象的任一狀態進行受力分析，建立平衡方程和幾何關系，求出因變量與自變量的一般函數關系，然后根據自變量的變化情況確定因變量的變化情況。

【例3】 如圖7所示，在滅火搶險過程中，消防隊員有時要借助消防車上的梯子爬到高處進行救人或滅火，已知梯子的下端放置在粗糙的車廂表面上，上端靠在摩擦力很小的豎直玻璃幕墻上。在消防隊員沿梯子勻速向上爬的過程中，下列說法正確的是（ ）。

解析：以梯子及消防隊員為整體進行受力分析，墻對梯子的彈力N1、人梯總重力mg及車廂對梯子的作用力F（箱底對梯子的支持力N2和靜摩擦力f和合力），隨著人的重心沿梯上移：N2=mg不變，但f增大，使得F也增大，由N1=f知，N1也增大，A、B選項均錯；三個力（N1、mg、F）必定相交于一點，且這一點沿N1的反方向向右移動（θ在減小，cosθ在增大），如圖8所示，由N1=Fcosθ可知墻對梯子的彈力在增大。

對消防車、人及梯子整體受力分析：水平向右有地面對車的靜摩擦力f地，且f地=N1，N1增大，故f地也在增大，C選項正確；豎直方向有：整體的重力G被地面對車的彈力N地平衡，即N地=G，D選項正確。

【例4】 如圖10所示，一水平導軌處于與水平方向成θ=45°向左上方的勻強磁場中，一根通有恒定電流的金屬棒，由于受到安培力的作用在粗糙的導軌上，向右做勻速運動。現將磁場沿順時針方向緩慢轉動至豎直向上，在此過程中，金屬棒始終保持勻速運動，已知棒與導軌間的動摩擦因數μ<1，則磁感應強度B的大小變化情況是（ ）。endprint