例談聯(lián)想在數(shù)學(xué)解題中的妙用

劉秀梅

所謂聯(lián)想，就是由此問題的形態(tài)和性質(zhì)等方面想到與之相近、相似的問題，從而找到解題方法的一種思維方法.在解題過程中，尤其是問題一時難以找到突破口或是方法較為復(fù)雜時，我們應(yīng)該聯(lián)想到與之相近、相似的問題.通過變形、轉(zhuǎn)換使之變成容易解決的問題，從而使復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，這樣就能夠收到事半功倍的效果.本文試舉幾例來說明聯(lián)想在解題中的妙用.

【例2】 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.

分析：本題可用積化和差進(jìn)行計算，但運(yùn)算量大，此時聯(lián)想到它的對偶式

cos10°cos30°cos50°cos70°.

令A(yù)=sin10°sin30°sin50°sin70°，

則B=cos10°cos30°cos50°cos70°.

A·B=sin10°sin30°sin50°sin70°cos10°cos30°cos50°·cos70°

這樣求解簡單、快捷，學(xué)生能從解題中享受解題的樂趣.

【例3】 證明1-C2100+C4100-C6100+…+C100100=-250.

分析：本題從表面看來較為復(fù)雜，且不易找到突破口，如果能夠聯(lián)想到（1+i）100的展開式，則問題解決就容易了.

證明：∵（1+i）100=（1-C2100+C4100-C6100+…+C100100）+（C1100-C3100-C5100-…-C99100），

又（1+i）100=-250，

由復(fù)數(shù)相等的條件可得1-C2100+C4100-C6100+…+C100100=-250.

【例4】 當(dāng)1ba-1.

分析：對不等式兩邊同時取常用對數(shù)得

（b-1）lga>（a-1）lgb，

【例5】 求sin217°+sin243°+sin17°sin43°的值.

分析：本題所給角度為43°和17°，如果利用三角關(guān)系式化簡求值，計算相當(dāng)復(fù)雜，且容易出錯.考慮到“a2+b2+ab”與余弦定理相似，不妨構(gòu)造三角形來求解.

令∠A=17°，∠B=43°，∠C=120°，

由正弦定理可得

以上所舉各例旨在說明聯(lián)想在解題中的應(yīng)用，它在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要的意義.在日常教學(xué)中，注意結(jié)合教學(xué)內(nèi)容創(chuàng)造問題情境，引導(dǎo)學(xué)生積極聯(lián)想，既可有效地調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的形成也有一定的作用.

所謂聯(lián)想，就是由此問題的形態(tài)和性質(zhì)等方面想到與之相近、相似的問題，從而找到解題方法的一種思維方法.在解題過程中，尤其是問題一時難以找到突破口或是方法較為復(fù)雜時，我們應(yīng)該聯(lián)想到與之相近、相似的問題.通過變形、轉(zhuǎn)換使之變成容易解決的問題，從而使復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，這樣就能夠收到事半功倍的效果.本文試舉幾例來說明聯(lián)想在解題中的妙用.

【例2】 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.

分析：本題可用積化和差進(jìn)行計算，但運(yùn)算量大，此時聯(lián)想到它的對偶式

cos10°cos30°cos50°cos70°.

令A(yù)=sin10°sin30°sin50°sin70°，

則B=cos10°cos30°cos50°cos70°.

A·B=sin10°sin30°sin50°sin70°cos10°cos30°cos50°·cos70°

這樣求解簡單、快捷，學(xué)生能從解題中享受解題的樂趣.

【例3】 證明1-C2100+C4100-C6100+…+C100100=-250.

分析：本題從表面看來較為復(fù)雜，且不易找到突破口，如果能夠聯(lián)想到（1+i）100的展開式，則問題解決就容易了.

證明：∵（1+i）100=（1-C2100+C4100-C6100+…+C100100）+（C1100-C3100-C5100-…-C99100），

又（1+i）100=-250，

由復(fù)數(shù)相等的條件可得1-C2100+C4100-C6100+…+C100100=-250.

【例4】 當(dāng)1ba-1.

分析：對不等式兩邊同時取常用對數(shù)得

（b-1）lga>（a-1）lgb，

【例5】 求sin217°+sin243°+sin17°sin43°的值.

分析：本題所給角度為43°和17°，如果利用三角關(guān)系式化簡求值，計算相當(dāng)復(fù)雜，且容易出錯.考慮到“a2+b2+ab”與余弦定理相似，不妨構(gòu)造三角形來求解.

令∠A=17°，∠B=43°，∠C=120°，

由正弦定理可得

以上所舉各例旨在說明聯(lián)想在解題中的應(yīng)用，它在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要的意義.在日常教學(xué)中，注意結(jié)合教學(xué)內(nèi)容創(chuàng)造問題情境，引導(dǎo)學(xué)生積極聯(lián)想，既可有效地調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的形成也有一定的作用.

所謂聯(lián)想，就是由此問題的形態(tài)和性質(zhì)等方面想到與之相近、相似的問題，從而找到解題方法的一種思維方法.在解題過程中，尤其是問題一時難以找到突破口或是方法較為復(fù)雜時，我們應(yīng)該聯(lián)想到與之相近、相似的問題.通過變形、轉(zhuǎn)換使之變成容易解決的問題，從而使復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，這樣就能夠收到事半功倍的效果.本文試舉幾例來說明聯(lián)想在解題中的妙用.

【例2】 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.

分析：本題可用積化和差進(jìn)行計算，但運(yùn)算量大，此時聯(lián)想到它的對偶式

cos10°cos30°cos50°cos70°.

令A(yù)=sin10°sin30°sin50°sin70°，

則B=cos10°cos30°cos50°cos70°.

A·B=sin10°sin30°sin50°sin70°cos10°cos30°cos50°·cos70°

這樣求解簡單、快捷，學(xué)生能從解題中享受解題的樂趣.

【例3】 證明1-C2100+C4100-C6100+…+C100100=-250.

分析：本題從表面看來較為復(fù)雜，且不易找到突破口，如果能夠聯(lián)想到（1+i）100的展開式，則問題解決就容易了.

證明：∵（1+i）100=（1-C2100+C4100-C6100+…+C100100）+（C1100-C3100-C5100-…-C99100），

又（1+i）100=-250，

由復(fù)數(shù)相等的條件可得1-C2100+C4100-C6100+…+C100100=-250.

【例4】 當(dāng)1ba-1.

分析：對不等式兩邊同時取常用對數(shù)得

（b-1）lga>（a-1）lgb，

【例5】 求sin217°+sin243°+sin17°sin43°的值.

分析：本題所給角度為43°和17°，如果利用三角關(guān)系式化簡求值，計算相當(dāng)復(fù)雜，且容易出錯.考慮到“a2+b2+ab”與余弦定理相似，不妨構(gòu)造三角形來求解.

令∠A=17°，∠B=43°，∠C=120°，

由正弦定理可得

以上所舉各例旨在說明聯(lián)想在解題中的應(yīng)用，它在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要的意義.在日常教學(xué)中，注意結(jié)合教學(xué)內(nèi)容創(chuàng)造問題情境，引導(dǎo)學(xué)生積極聯(lián)想，既可有效地調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的形成也有一定的作用.