求解抽象函數解析式六法

鄭玉琳

一、換元法：即用中間變量表示原自變量的代數式，從而求出f（x）

四、利用函數性質法：主要利用函數的奇偶性，求分段函數的解析式

【例6】 已知y=f（x）為奇函數，當x>0時，f（x）=lg（x+1），求f（x）.

解：∵f（x）為奇函數，∴f（x）的定義域關于原點對稱，故先求x<0時的表達式.

∵-x>0，∴f（-x）=lg（-x+1）=lg（1-x）.

∵f（x）為奇函數，∴lg（1-x）=f（-x）=-f（x），

∴當x<0時，f（x）=-lg（1-x）.

五、賦值法：給自變量取特殊值，從而發現規律，求出f（x）的表達式

【例8】 已知f（0）=1，對于任意實數x、y，等式f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）恒成立，求f（x）.

解：對于任意實數x、y，等式f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）恒成立，

不妨令x=0，則有f（-y）=f（0）-y（-y+1）=y2-y+1，

再令-y=x得函數解析式f（x）=x2+x+1.

【例9】 函數f（x）對一切實數x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0.求f（x）的解析式.

解：令x=1，y=0，代入得f（1+0）-f（0）=（1+2×0+1）×1，整理得f（0）=2.

令y=0，得f（x+0）-f（0）=（x+0+1）x，

所以f（x）=x2+x+2.

六、方程組法：若已知的函數關系較為抽象簡約，則可以對變量進行置換，設法構造方程組，通過解方程組求得函數解析式endprint

一、換元法：即用中間變量表示原自變量的代數式，從而求出f（x）

四、利用函數性質法：主要利用函數的奇偶性，求分段函數的解析式

【例6】 已知y=f（x）為奇函數，當x>0時，f（x）=lg（x+1），求f（x）.

解：∵f（x）為奇函數，∴f（x）的定義域關于原點對稱，故先求x<0時的表達式.

∵-x>0，∴f（-x）=lg（-x+1）=lg（1-x）.

∵f（x）為奇函數，∴lg（1-x）=f（-x）=-f（x），

∴當x<0時，f（x）=-lg（1-x）.

五、賦值法：給自變量取特殊值，從而發現規律，求出f（x）的表達式

【例8】 已知f（0）=1，對于任意實數x、y，等式f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）恒成立，求f（x）.

解：對于任意實數x、y，等式f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）恒成立，

不妨令x=0，則有f（-y）=f（0）-y（-y+1）=y2-y+1，

再令-y=x得函數解析式f（x）=x2+x+1.

【例9】 函數f（x）對一切實數x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0.求f（x）的解析式.

解：令x=1，y=0，代入得f（1+0）-f（0）=（1+2×0+1）×1，整理得f（0）=2.

令y=0，得f（x+0）-f（0）=（x+0+1）x，

所以f（x）=x2+x+2.

六、方程組法：若已知的函數關系較為抽象簡約，則可以對變量進行置換，設法構造方程組，通過解方程組求得函數解析式endprint

一、換元法：即用中間變量表示原自變量的代數式，從而求出f（x）

四、利用函數性質法：主要利用函數的奇偶性，求分段函數的解析式

【例6】 已知y=f（x）為奇函數，當x>0時，f（x）=lg（x+1），求f（x）.

解：∵f（x）為奇函數，∴f（x）的定義域關于原點對稱，故先求x<0時的表達式.

∵-x>0，∴f（-x）=lg（-x+1）=lg（1-x）.

∵f（x）為奇函數，∴lg（1-x）=f（-x）=-f（x），

∴當x<0時，f（x）=-lg（1-x）.

五、賦值法：給自變量取特殊值，從而發現規律，求出f（x）的表達式

【例8】 已知f（0）=1，對于任意實數x、y，等式f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）恒成立，求f（x）.

解：對于任意實數x、y，等式f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）恒成立，

不妨令x=0，則有f（-y）=f（0）-y（-y+1）=y2-y+1，

再令-y=x得函數解析式f（x）=x2+x+1.

【例9】 函數f（x）對一切實數x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0.求f（x）的解析式.

解：令x=1，y=0，代入得f（1+0）-f（0）=（1+2×0+1）×1，整理得f（0）=2.

令y=0，得f（x+0）-f（0）=（x+0+1）x，

所以f（x）=x2+x+2.

六、方程組法：若已知的函數關系較為抽象簡約，則可以對變量進行置換，設法構造方程組，通過解方程組求得函數解析式endprint