一道高考選擇題的多種解法及其分析

馮菊仿

2013年廣東省高考理科數學第8題：設整數n≥4，集合X={1，2，3，…，n}.令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三個條件x

一、常規方法及分析

方法一：特殊值法

因為（x，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，所以不妨取x=3，y=4，z=5，w=1，則，（y，z，w）=（4，5，1）∈S，（x，y，w）=（3，4，1）∈S，所以選B.

方法二：分類討論

①若x

x

②若x>z，因為（x，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，所以z

所以w

方法三：窮舉法

由（x，y，z）∈S可得第一組中的①x

恰有一個成立，因為第一組中的某一個不等式與第二組中的某一個不等式要同時成立，所以只有①⑤或①⑥或②④或③④這四種配組同時成立.

當①⑤同時成立時，可得w

當①⑥同時成立時，可得x

當②④同時成立時，可得y

當③④同時成立時，可得z

綜上，（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S，故選B.

以上幾種方法，特殊值法適合于用字母表示的一般性結論的選擇題，而且每個選項的結果唯一，根據“一般”包含“特殊”的思想，取適合的數字代入檢驗，即可得到正確的選項.方法二是典型的含有字母分類討論的問題，（y，z，w）和（x，y，w）這兩組數組中的字母，只有z和x不同，只要對這兩個字母的大小分類討論，其他字母的大小自然就確定了，但這種分類討論的標準非常隱蔽，要找到實屬不易.方法三是兩組不等式一一配組，找出所有符合條件的不等式組，再逐個分析，得到結論.相對于一道選擇題來講，短時間內完成，難度很大.

二、新方法探求，構造有序數組

我們知道，任何一個不等關系都可以用數軸上點的位置來刻畫，由集合S的元素滿足“三個條件x

如圖1，一條封閉的有向曲線，不妨取方向為順時針.

集合X的n個自然數按順時針方向依次排列在該曲線上，任意一個有序數組（x，y，z）中的x，y，z只要按順時針方向依次取曲線上排列的自然數，不論它們取何值，①x

因為（x，y，z）∈S且（z，w，x）∈S，所以x，y，z，w在圓周上的排列如圖1所示，那么（y，z，w）和（x，y，w）這兩個有序數組中的y，z，w和x，y，w很容易看出都是按順時針排列的，即（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S，故選B.

該方法輕巧靈活，它抓住三個不等式所構成的循環鏈所蘊含的圖形特征，即封閉曲線上按照一定順序排列的一列數，按照該順序任意取三個數，它們的大小關系一定恰好滿足三個不等式的一個，這樣集合S中元素的屬性本應是三個不定量的大小關系，通過數形結合，就轉化為三個點在封閉曲線上的位置關系，形象直觀，避免了繁瑣的字母討論，符合選擇題的特點.

該題雖小，但蘊含的數學思想和數學方法十分豐富，很好地考查了學生抽象思維、形象思維的能力和創新意識，堪稱2013年廣東高考理科數學題中一道靚麗的風景線.

2013年廣東省高考理科數學第8題：設整數n≥4，集合X={1，2，3，…，n}.令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三個條件x

一、常規方法及分析

方法一：特殊值法

因為（x，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，所以不妨取x=3，y=4，z=5，w=1，則，（y，z，w）=（4，5，1）∈S，（x，y，w）=（3，4，1）∈S，所以選B.

方法二：分類討論

①若x

x

②若x>z，因為（x，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，所以z

所以w

方法三：窮舉法

由（x，y，z）∈S可得第一組中的①x

恰有一個成立，因為第一組中的某一個不等式與第二組中的某一個不等式要同時成立，所以只有①⑤或①⑥或②④或③④這四種配組同時成立.

當①⑤同時成立時，可得w

當①⑥同時成立時，可得x

當②④同時成立時，可得y

當③④同時成立時，可得z

綜上，（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S，故選B.

以上幾種方法，特殊值法適合于用字母表示的一般性結論的選擇題，而且每個選項的結果唯一，根據“一般”包含“特殊”的思想，取適合的數字代入檢驗，即可得到正確的選項.方法二是典型的含有字母分類討論的問題，（y，z，w）和（x，y，w）這兩組數組中的字母，只有z和x不同，只要對這兩個字母的大小分類討論，其他字母的大小自然就確定了，但這種分類討論的標準非常隱蔽，要找到實屬不易.方法三是兩組不等式一一配組，找出所有符合條件的不等式組，再逐個分析，得到結論.相對于一道選擇題來講，短時間內完成，難度很大.

二、新方法探求，構造有序數組

我們知道，任何一個不等關系都可以用數軸上點的位置來刻畫，由集合S的元素滿足“三個條件x

如圖1，一條封閉的有向曲線，不妨取方向為順時針.

集合X的n個自然數按順時針方向依次排列在該曲線上，任意一個有序數組（x，y，z）中的x，y，z只要按順時針方向依次取曲線上排列的自然數，不論它們取何值，①x

因為（x，y，z）∈S且（z，w，x）∈S，所以x，y，z，w在圓周上的排列如圖1所示，那么（y，z，w）和（x，y，w）這兩個有序數組中的y，z，w和x，y，w很容易看出都是按順時針排列的，即（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S，故選B.

該方法輕巧靈活，它抓住三個不等式所構成的循環鏈所蘊含的圖形特征，即封閉曲線上按照一定順序排列的一列數，按照該順序任意取三個數，它們的大小關系一定恰好滿足三個不等式的一個，這樣集合S中元素的屬性本應是三個不定量的大小關系，通過數形結合，就轉化為三個點在封閉曲線上的位置關系，形象直觀，避免了繁瑣的字母討論，符合選擇題的特點.

該題雖小，但蘊含的數學思想和數學方法十分豐富，很好地考查了學生抽象思維、形象思維的能力和創新意識，堪稱2013年廣東高考理科數學題中一道靚麗的風景線.

2013年廣東省高考理科數學第8題：設整數n≥4，集合X={1，2，3，…，n}.令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三個條件x

一、常規方法及分析

方法一：特殊值法

因為（x，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，所以不妨取x=3，y=4，z=5，w=1，則，（y，z，w）=（4，5，1）∈S，（x，y，w）=（3，4，1）∈S，所以選B.

方法二：分類討論

①若x

x

②若x>z，因為（x，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，所以z

所以w

方法三：窮舉法

由（x，y，z）∈S可得第一組中的①x

恰有一個成立，因為第一組中的某一個不等式與第二組中的某一個不等式要同時成立，所以只有①⑤或①⑥或②④或③④這四種配組同時成立.

當①⑤同時成立時，可得w

當①⑥同時成立時，可得x

當②④同時成立時，可得y

當③④同時成立時，可得z

綜上，（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S，故選B.

以上幾種方法，特殊值法適合于用字母表示的一般性結論的選擇題，而且每個選項的結果唯一，根據“一般”包含“特殊”的思想，取適合的數字代入檢驗，即可得到正確的選項.方法二是典型的含有字母分類討論的問題，（y，z，w）和（x，y，w）這兩組數組中的字母，只有z和x不同，只要對這兩個字母的大小分類討論，其他字母的大小自然就確定了，但這種分類討論的標準非常隱蔽，要找到實屬不易.方法三是兩組不等式一一配組，找出所有符合條件的不等式組，再逐個分析，得到結論.相對于一道選擇題來講，短時間內完成，難度很大.

二、新方法探求，構造有序數組

我們知道，任何一個不等關系都可以用數軸上點的位置來刻畫，由集合S的元素滿足“三個條件x

如圖1，一條封閉的有向曲線，不妨取方向為順時針.

集合X的n個自然數按順時針方向依次排列在該曲線上，任意一個有序數組（x，y，z）中的x，y，z只要按順時針方向依次取曲線上排列的自然數，不論它們取何值，①x

因為（x，y，z）∈S且（z，w，x）∈S，所以x，y，z，w在圓周上的排列如圖1所示，那么（y，z，w）和（x，y，w）這兩個有序數組中的y，z，w和x，y，w很容易看出都是按順時針排列的，即（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S，故選B.

該方法輕巧靈活，它抓住三個不等式所構成的循環鏈所蘊含的圖形特征，即封閉曲線上按照一定順序排列的一列數，按照該順序任意取三個數，它們的大小關系一定恰好滿足三個不等式的一個，這樣集合S中元素的屬性本應是三個不定量的大小關系，通過數形結合，就轉化為三個點在封閉曲線上的位置關系，形象直觀，避免了繁瑣的字母討論，符合選擇題的特點.

該題雖小，但蘊含的數學思想和數學方法十分豐富，很好地考查了學生抽象思維、形象思維的能力和創新意識，堪稱2013年廣東高考理科數學題中一道靚麗的風景線.