積累數學活動經驗的三個基本點

許小平

一、新舊聯系——積累基本數學活動經驗的切入點

數學客觀性的知識總是基于學生已有的知識和經驗而發生、發展的，學生學習任何數學知識，都必然與頭腦中的數學活動經驗相聯系，離不開先前數學活動中習得的經驗的基礎性作用。但在實際教學中，學生經常由于生活經驗不足，操作經歷的感受有限，難以體驗到各種數學活動經驗彼此之間的聯系，導致已有的數學活動經驗在新的教學情境中難以發生、轉化或遷移。因此，教師要全面了解學生已有的數學活動經驗，積極創造能激活這些經驗的條件，在新舊經驗的聯系中找到切入點，激發學生主動地將新的知識納入舊的經驗系統中，從而建構起新的知識體系，完成對知識經驗的“改造或改組”。

例如，“簡單圖形的面積計算”教學。從知識的角度說，長方形和正方形的面積計算是基礎，平行四邊形的面積計算是關鍵，隨后的三角形、梯形，以及圓形的面積公式推導是提升。從活動經驗的角度說，在小學平面圖形的教學中，“數方格”是初級操作經驗基礎，學會用“數方格”的方法計算長方形的面積，并從中發現長方形面積的計算公式，是第一學段積累基本數學活動經驗的重要切入點。“剪、移、拼”則是“轉化”思想的關鍵，利用“剪、移、拼”把平行四邊形轉化為長方形，從而推導出平行四邊形的面積公式，這是“轉化”數學思想的首次成功體驗，具有承前啟后的關鍵作用。而把圓形轉化成長方形則滲透了“化曲為直”和極限的思想，是基本活動經驗的一次重要跨越，是后續學習的重要經驗積累。教學中，教師既要啟發學生想辦法把所研究的圖形轉化為已學過的圖形的面積計算，滲透“轉化”的思想方法。同時，教師要引導學生主動探索轉化前后的圖形之間有什么聯系，從舊經驗推出新方法，完成新圖形的面積計算公式的推導，發展學生的思維能力和空間觀念，使他們的原初經驗得以改造和提煉，完成數學活動經驗從舊知識、舊方法到新知識、新方法的過渡。

二、高低貫通——積累基本數學活動經驗的躍升點

學生活動經驗發展具有一定的層級性和規律性，教師在教學中要遵循這一客觀規律，根據不同年級教學任務和要求以及學生已有的經驗起點，在相鄰的兩個經驗層級之間架起梯子，實現高低經驗的貫通，讓學生在“跳一跳，摘桃子”的活動中實現由較低層級的活動體驗逐步上升到較高層級的活動體驗，完成數學活動經驗由低而高的躍升。

例如，關于“分數”的學習，《課程標準》安排分兩個學段完成。人教版教材第一學段安排在三年級上冊，課程內容要求學生能結合具體情境初步認識小數與分數，能讀寫小數和分數等；第二學段安排在五年級下冊，課程內容要求學生結合具體情境，理解分數的意義，理解百分數的意義會進行小數、分數和百分數的轉化（不包括將循環小數化為分數）。兩個學段都提到“結合具體情境”，要創設怎樣的“具體情境”才能讓學生從認識的起點躍升到認識的新節點呢？三年級下冊“初步認識分數”是數概念從整數到分數的一次擴展，對學生來說是認知上的突破。教學活動應立足于學生感興趣的現實情境，通過動手操作（包括分一分、剪一剪、折一折等），讓學生從直接經驗（動作表征）順利過渡到經驗的表象表征，給學生搭建突破整數樊籬躍升到分數初步認識的目標。而五年級下冊“分數的意義和性質”是學生系統學習分數的開始。這一階段的教學活動要引導學生在已有的基礎上，立足于學生的經驗的表象表征，通過舉例說明、觀察、討論、辨析、抽象與概括等活動，幫助學生從感性認識上升到理性認識（符號表征），概括出分數的意義，比較完整地從分數的產生、分數與除法的關系等方面加深對分數意義的理解，進而理解與分數有關的基本概念和基本技能，從而獲得直觀動作思維—具體形象思維—抽象邏輯思維的完整活動體驗，實現小學分數意義教學目標的逐級躍升。

三、學用結合——積累基本數學活動經驗的拓展點

學生的數學活動經驗在很多時候是“內隱”與“蟄伏”的，在轉到新的問題情境時，一些學生能“急中生智”，而另一些學生則 “黔驢技窮”。出現這種情形的一個重要原因是學生積累的數學活動經驗存在個體差異。研究表明，學生獲得數學活動經驗的過程，至少需要經歷以下階段：原初經驗階段、再生經驗階段、再認經驗階段、概括性經驗階段。由學生自身的因素以及經歷不同，他們在遭遇問題情境時的經驗反映會出現不同的情形。因此朱德全教授指出“應用意識的生成便是知識經驗形成的標志”。也就是說，要使經驗成為活的經驗，學以致用是必經之路。加強“學用結合”是積累基本活動經驗的重要的拓展點。

例如，第二學段課程內容要求學生探索并了解運算律，會用運算律進行一些簡便運算。其中乘法分配律的學習和運用在教學中一直是個難點。如何有意識地培養學生在不同層次、情境的運用中形成簡便運算的意識和能力呢？教師引導學生通過觀察、思考、討論，最后歸納出乘法分配律，并用字母表示：（a+b）×c=a×c+b×c或a×（b+c） =a×b+a×c。為了幫助學生進一步理解乘法分配律及其運用，教師對教學目標進一步細化和層次化。

第一層次：利用乘法意義幫助學生理解乘法分配律。

12×4+12×6表示（ ）個12加上（ ）個12，等于（ ）個12。也可以說成12的（ ）倍加上12的（ ）倍等于12的（ ）倍。

第二層次：模仿題，鞏固運用。

（4+8）×25，15×26+26×85

第三層次：變式題，靈活運用。

99×45，101×45

第四層次：提高題，拓展運用。

130×56+87×560

活動經驗的拓展點在于不同情境中的喚醒、激活和反復應用，把書本上學來的知識與經驗，和現實生活緊密地聯系在一起，讓學生利用所學的知識和經驗解決生活中的數學問題，最終促進學生獲得較高層次概括性的經驗圖式，從而促進數學基本活動經驗的積累與發展，使基本活動經驗成為解決問題“活”的靈魂，更讓學生體會到“生活中處處都有數學”的真諦。

（作者單位：福建省漳平市新橋中心小學 責任編輯：王彬）