基于分形理論的水流混摻長度垂線分布公式修正

吳立春，倪志輝

(1.重慶第二師范學院，重慶 400067；2. 重慶交通大學 國家內河航道整治工程技術研究中心水利水運工程教育部重點實驗室，重慶 400074；3. 重慶交通大學 西南水運工程科學研究所，重慶 400016)

0 引 言

混摻長度是水流紊動的重要特性，其垂線分布規律與水流阻力、泥沙運動及環境工程均密切相關，直接影響著底床沖刷和淤積的演變過程。因此，研究挾沙水流混摻長度的垂線分布規律既有重要的理論意義，又有助于解決實際工程問題。為此，國內外許多學者進行了大量測量和分析工作[1-5]，這些研究大都通過明渠、圓管、平板邊界層等的水流試驗展開。L.Prandtl[1]參照分子碰撞中自由行程的概念引入混摻長度概念，表示當流體質點從速度的層因脈動而跳至另一層時，流體質點的原有動量剛好轉換并等于新的一層處的動量。該兩層之間的距離稱為混摻長度l。根據L.Prandtl混摻長度理論，在近壁紊流中，假定l與從固體壁面算起的法向距離y成比例，即：

l=κy

(1)

式中：l為混摻長度，它與流動情況有關，可由試驗確定；κ為卡門常數，對于清水水流情況，κ≈ 0.4。

對于充分發展的管流和明渠，J.Nikuradse[2]提出的混摻長度分布公式：

(2)

式中：R為管的半徑或明渠的水深。

在靠近壁面的區域，式(2)給出的結果與式(1)一致。但是，在非靠近壁面的區域，黏性起決定性的作用，通常采用Van Driest[3]公式修正混摻長度的線性關系式：

(3)

式中：A=26；τw為壁面剪應力。

為了避免確定l的計算過程過于繁瑣，Von Karman曾建議將l與時均流速的分布按式(4)建立聯系：

(4)

式(4)對于近壁水流可得出較好的結果，但缺少普適性。例如，在射流和尾跡中，速度剖面含有拐點，由式(4)會得出無限大的混摻長度。因此，Von Karman公式極少采用。

也有學者通過利用流速梯度分布公式來推導挾沙水流沿整個水深范圍內的混摻長度[4-5]，在主流區，忽略黏滯切應力，有：

(5)

由于在主流區，挾沙水流紊動切應力基本上是線性分布：

(6)

式中：τb為床面剪切應力，τb=ρ|u*|u*(ρ為水流密度，u*為床面摩阻流速)；y為垂向坐標；D為水深。

聯立式(5)、式(6)得到：

(7)

由此可見，混摻長度l給予不同的假定，將會得出各種不同的流速分布式。對于簡單的剪力層型的流動，不同形式的水流可采用不同的經驗常數。但對于紊動輸運過程占有重要地位的復雜的水流，則很難確定l。為此，筆者以挾沙水流混摻長度的運動機理為基礎，從分形標度的角度探討挾沙水流混摻長度垂線分布模式，并采用最小二乘法和相應的邊界條件，確定分布式的系數。利用現場資料和試驗數據進行了驗證，并與其它公式計算結果相比較,表明文中公式不僅表達式簡潔，而且可以較好地反映挾沙水流混摻長度垂線分布模式特征。

1 公式推導

假設混摻長度按以下方式定義：設一流體塊團，以其原有的時均速度運動，由于紊動，該塊團在橫向由y1運動到y2。在y2點，塊團原有速度與周圍介質時均速度之差為▽U。如果在y2點的平均橫向脈動速度恰為▽U，則將距離y2-y1定義為混摻長度l。由于挾沙水流的含沙量分布不均勻，水流紊動作用等因素，挾沙水流中的“漩渦”水團其實是一種無規則運動，因此用分形理論描述實際運動軌跡長度l和水平投影長度間的關系。在圖1的分形結構中，當分形迭代次數i= 0時，圖形為直線；當i=1時，0～l1間線形不變，而l1和l2間的線形由直線l1～l2變為折線段l1～l3～l2，l3為l1～l2線段上方(或下方)任意處引入的一點。按此規則分形迭代，圖1(c)、(d)中，虛線代表i-1次迭代后的形狀，而實線則是i次迭代后的形狀。

圖1 水團的實際運動軌跡長度與水平映射距離示意Fig.1 Water masses in the actual motion path length and level mapping distance

i次分形迭代后，折線的長度與水平映射距離的平均關系為：

li=β-iyi

(8)

式中：l為分形迭代后折線的實際長度；yi是相應的投影長度；β為反映l與yi平均關系的參數。

由分形理論知，對任一的分形迭代i，長yi的線段個數可表示為：

(9)

式中：D為分形維數，對于1維情況，0

由式(8)和式(9)知，水團的實際運動軌跡長度l與水平映射距離y之間的平均關系可以描述為：

(10)

式中：A為比例常數；l為混摻長度；y為水深。

式(10)即為筆者所建立的挾沙水流混摻長度指數公式。

2 研究方法

垂直各層上的實測值在理論上應滿足式(10)，但由于實測值本身即存在誤差且忽略它們之間非線性作用等因素，各層的理論值與實測值之間也就存在誤差。由于未知量有2個(A和D)，而一般實測數據不一定有2層，因而，筆者采用枚舉法結合最小二乘法[6-8]的方法求解。步驟如下：

1)建立目標函數

(11)

式中：yi表示近底第i層水深；li表示對應的混摻長度值。

2)列舉分形維數D，從0.000 1～1，增量設為0.000 1，即共10 000組。

3)對任一個D的枚舉值，在目標函數取極小值時滿足式(12)，求解得出A：

(12)

式中：n代表垂線用來擬合的點數。

4)計算10 000組D對應10 000個f的最小值，使目標函數取極小值，則各層理論值與實測值的總誤差將達到最小，從而得出D。

3 驗證與比較

為了驗證筆者所建式(10)的合理性，采用圖2～圖5[2,9-11]的現有典型實驗數據對公式進行驗證，并與式(1)、式(7)計算結果進行比較。圖中，實點代表實驗值，細實線代表公式(1)擬合值，虛線代表式(7)擬合值，粗實線代表筆者提出模式與實測值的最佳擬合值。

圖2 與Nikuradse實驗數據的比較Fig.2 Comparison of experimental data with Nikuradse

圖3 與Vanoni實驗數據的比較Fig.3 Comparison of experimental data with Vanoni

圖4 與Einstein和Chien實驗數據的比較Fig.4 Comparison of experimental data with Einstein and Chien

圖5 與Castro和Epik實驗數據的比較Fig.5 Comparison of experimental data with Castro and Epik

由圖2～圖5可以看出，筆者提出的式(10)的計算值均比式(1)和式(7)更接近實測值，說明前者精度更高，更能反映出挾沙水流混摻長度垂線分布的規律。

4 初步分析

4.1 分形維數的大小

長期以來，混摻長度常假設采用簡單的經驗公式確定l。對于自由層，可假設l在橫斷面上保持為常數，且與當地層厚δ成正比，其比例因子取決于自由流的類型。由此可見，混摻長度模型缺少通用性，對于不同形式的水流需采用不同的經驗常數。這是混摻長度理論中忽略了紊動量的擴散輸運和對流輸運的必然結果。從文中挾沙水流的混摻長度的運動機理出發，結合水流紊動理論和分形理論推導了一種新的混摻長度垂線分布模式。由表1可以看出，筆者提出的式(10)計算擬合的參數A和D，其取值范圍均為0

表1 各組實驗數據分形維數D和A值

(續表1)

實驗組次分形維數DAEinstein和Chien(1955)(a)C?130．01750．4026(b)S?110．07980．2637(c)S?130．09030．1541(d)S?150．45730．0297Castro和Epik(1996)(a)0．34510．1203(b)0．26430．2173(c)0．71150．1735

從表1中第3組Einstein和Chien (1955)的資料可以看到，實驗條件為清水狀態C-13組時，D=0.017 5，1-D≈1，A=0.402 6，式(10)退化為Prandtl公式(l=ky，k通過實驗知約為0.40～0.41)。

4.2 分形維數與含沙量的關系

為了分析含沙量對混摻長度的影響，筆者從Einstein和Chien (1955)實驗數據中摘錄了實測含沙量，見表2。

表2 公式(10)中參數D與含沙量比較

從表2可見，當參數D越接近0時，水流中含沙量越少。參數D與含沙量存在正比關系，D值越大，含沙量也越大，反之亦然。因此，結合公式(10)可得：混摻長度與含沙量成反比，含沙量越大，則混摻長度越小。

垂向上某一位置處可能出現的不同尺度紊動漩渦大小的平均量度即為該位置處的混摻長度[13]。混摻長度是所有漩渦的平均量度，而幾乎所有尺度的漩渦都參與動量傳遞，水體則是這些紊動的載體[14]。錢寧[15]認為：伴隨著挾沙水流黏性的增加，小尺度的漩渦會消失不見。

混摻長度與漩渦能攜帶的泥沙量有一定相關性，在宏觀上表現為和泥沙濃度相關[16]。泥沙對紊動的制約作用隨著濃度的增大越來越明顯，而混摻長度則隨著濃度增大而減小。泥沙的濃度分布通常表現為上小下大，濃度梯度對混摻起到抑制作用。這種抑制作用對泥沙本身的影響可能更為明顯，因此將導致混摻長度的進一步減小。在泥沙濃度足夠大，濃度梯度的抑制作用足夠明顯的情況下，水流的混摻長度可能會小于清水體混摻長度(由表1也可比較得出)。挾沙水流的混摻長度小于清水體混摻長度的現象，在細顆粒泥沙中更容易表現出來。

5 結 論

以挾沙水流混摻長度的運動機理為基礎，從分形標度的角度出發去探討挾沙水流混摻長度垂線分布模式，并采用最小二乘法和相應的邊界條件，確定了分布式的系數。利用現場資料和試驗數據進行了驗證，并與其它公式計算結果相比較,得出如下結論：

1)筆者提出的指數公式比線性公式和其它公式更接近實測值，精度更高。表明該公式可以較好地反映挾沙水流混摻長度垂線分布特征。

2)筆者提出的公式表達式簡潔，原理簡單、過程合理、結果可信, 建立的挾沙水流的混摻長度指數公式具有一定的合理性。

3)討論了含沙量與混摻長度的關系，即含沙量越大，混摻長度越小。這對進一步研究挾沙水流的流速垂線分布提供了有力的數據依據和研究價值。

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