波形鋼腹板梁界面滑移計算公式推導

趙瀚瑋，韓 西，王 玲

(重慶交通大學 土木建筑學院，重慶 400074)

波形剛腹板預應力混凝土(PC)箱梁結構是一種新型橋梁結構形式。該結構的優點除了能大量減輕自重以外，還因波形腹板的褶皺效應，提高了預應力效率，免除了腹板對上、下混凝土板的徐變、收縮變形的約束作用，其獨特的結構形式更適宜布置體外預應力，免除在混凝土中預埋預應力管道的繁雜程序。

波形鋼腹板預應力混凝土結構雖然極大優化了橋梁結構的受力，同時也帶來了傳統混凝土箱梁沒有的問題。由于鋼波形腹板與混凝土之間通過抗剪連接件共同參與工作，因此混凝土板和鋼腹板之間會發生相對滑移。界面相對滑移對結構的剛度，強度均存在影響。關于波形鋼腹板梁的抗彎力學性能，萬水，等[1-3]做了全面的試驗以及理論研究，并提出擬平截面假定理論以分析其截面應力分布；任紅偉，等[4-5]闡述了界面相對滑移與預應力作用對波形鋼腹板梁的承彎性能的影響，但并沒有提出計算界面相對滑移的具體公式。

筆者參考傳統的鋼混組合梁的界面滑移的理論計算方法[6]，對波形鋼腹板梁在幾種工況下界面滑移沿梁縱向的分布的計算方法進行了探討。

1 基本假定

波形鋼腹板預應力混凝土箱梁因波形鋼腹板的褶皺效應，波形鋼板受沿梁縱向軸力作用下，將發生極大的軸向變形，即波形鋼板沿縱向的實際彈性模量Ex是大大地小于鋼材的初始彈性模量E0，這里令之為有效彈性模量[7]。取一個波長的波形鋼板，根據卡氏定理，波形鋼板在軸向力N作用下的變形為：

(1)

(2)

式中：t為鋼板厚度。

圖1 軸向力下的波形鋼腹板Fig.1 Corrugated steel webs under axial force

筆者只分析1/2箱梁，將模型上混凝土板、波形剛腹板上翼緣板、波形剛腹板下翼緣板、下混凝土板4個部分，計算模型為一簡支梁，如圖2。圖中，l為梁長，用以計算的剪力連接件為栓釘連接件。

圖2 簡支梁以及組合截面Fig.2 Simply supported beam and composite section

根據以上的分析，有如下假定：

1)波紋鋼腹板上、下翼緣與上、下混凝土板之間不發生翹曲，只有縱向滑移。

2)梁的上、下緣鋼板和混凝土的平均應變符合擬平截面假定。

3)鋼材料和混凝土材料工作時都處于線彈性階段。

4)梁的彎曲變形是小變形，且忽略剪切變形。

5)鋼板與混凝土的界面相對滑移與水平剪力呈線性關系，剪力件剛度不發生退化。

6)抗剪連接件和混凝土間的摩擦力忽略不計。

7)在發生界面滑移之前，抗剪連接件間不存在應力重分布。

2 計算公式推導

取波形鋼腹板梁上的某一微段，將4部分彈性隔離體分開來分析，假設微段的4部分有著相同的曲率φ，波形鋼腹板上、下翼板受相同大小的豎向力，各彈性隔離體在微段上的受力情況如圖3。

圖3 微元體受力Fig.3 Force icon of micro segment

圖3中St，Sb為波形鋼腹板上、下翼板與混凝土之間的界面相對滑移；單位長度r為各個隔離體之間的擠壓力；M，N，V為各彈性隔離體所受的彎矩、軸力、剪力。

在組合梁構件中，4個彈性體滿足擬平截面假定，在荷載作用下混凝土與波形鋼板具有相同的曲率φ，則有：

(3)

式中：Ec，Es分別為混凝土和波型鋼板翼板的彈性模量；I1，I2，I3，I4為截面的慣性矩。

根據曲率相同的假設，可得：

4個彈性體的在豎向彎矩M和軸向力N作用下，滑移界面上的應變為：

(5)

式中：n=Es/Ec；εtc，εts分別為上滑移界面混凝土板和波形剛腹板翼板的應變；εbs，εbc分別為下滑移界面混凝土板和波形剛腹板翼板的應變；A1，A2，A3，A4為各截面計算面積。

從而可得上、下界面的先對滑移應變為：

(6)

式中：εt，εb分別為上、下界面的相對滑移；ht=h1+h2，hb=h3+h4。

對式(6)求變分得：

(7)

根據相對滑移與水平剪力成正比的假設，有：

(8)

式中：Kt，Kb為抗剪連接件的抗剪剛度；vt，vb為上、下交界面單位長度內的水平剪力；Dt，Db為上、下交界面抗剪連接件的間距。

根據各彈性體的平衡條件，有力的平衡條件：

(9)

而根據力矩的平衡條件略去小量得 ：

由于波形剛腹板的縱向剛度很小，根據假設，波形鋼腹板傳遞豎向擠壓力。從而有：

(11)

將式(10)疊加，而后將式(11)代入其中得：

(12)

將式(3)求導后與式(8)一起代入式(12)中得：

(13)

將式(9)、式(13)代入式(7) 中，可得微分方程：

(14)

式(14)即為簡支波形鋼腹板梁在豎向抗彎時的界面滑移的微分方程。由式(14)可以看出，波形鋼腹板梁的上、下界面滑移的微分方程的表達式是一樣的，只是和上、下緣的截面特性以及剪力連接件的分布形式有關。而在于任何荷載下，滑移微分方程不變，只與剪力V的表達式不同。

3 結果與分析

由前面推導可知，上、下界面滑移的表達式形式一致，為簡化分析過程，現假設上、下界面的截面形式以及剪力件分布相同，其微分方程參數都為α，β，然后對各種荷載下的結果進行分析。

3.1 梁受各種荷載作用下的滑移

(15)

(16)

(17)

式中：l2=l-l1/2。

3.2 梁由滑移引起的附加曲率分析

得出波形剛腹板梁上、下界面滑移的解后，將其求一階倒數即得到界面的滑移應變ε=S′，根據曲率相同的假定，則有：

(18)

又因為εt=εtc+εts，εb=εbs+εbc，則有：

(19)

其附加曲率如圖4，知道附加曲率過后，就可以通過結構力學原理得出組合梁在一般荷載作用下的附加彎矩。

圖4 截面附加應變與附加曲率Fig.4 Additional strain and curvature of section

需說明，由于現在的波形鋼板剪力連接件的形式多種多樣，式(8)可根據GB 50010—2010《混凝土結構設計規范》或文獻[3]自行確定。

通過以上分析可以發現，在不同荷載作用下都有一定滑移的應變。滑移應變以梁中點為向兩端發展，并產生梁的附加曲率，進而產生梁的附加彎矩，影響梁的整體抗彎性能。相對于現在僅用換算截面的抗彎性能來評估波形剛腹板梁抗彎能力有了一定進步，但本文并沒有考慮預應力的影響。

4 結 語

筆者研究了波形鋼腹板簡支梁界面相對滑移問題。基于波形鋼腹板箱梁所滿足的擬平截面假定，不考慮波形鋼腹板的抗彎能力，將梁分成4個彈性隔離體進行分析與討論，得出了梁滑移微分方程，并推導了一般作用下界面滑移的表達式以及附加曲率的表達式。

[1] 萬水,陳建兵,袁安華,等.波形剛腹板PC組合箱梁簡化計算及試驗研究[J].華東交通大學學報,2005,22(1):11-14.

Wan Shui,Ghen Jianbing,Yuan Anhua,et al.Simplified calculation and experimental study of PC composite box girder with conrugated steel webs[J].Journal of East China Jiaotong University, 2005, 22(1): 11-14.

[2] 楊丙文,黎雅樂,萬水,等.波形鋼腹板箱梁畸變應力分析[J].東南大學學報:自然科學版,2011,41(5):1065-1069.

Yang Bingwen,Li Yale,Wan Shui,et al.Stress analysis of box girders with corrugate steel webs under distorsion [J].Journal of Southeast University:Natural Science, 2011, 41(5): 1065-1069.

[3] 徐強,萬水.波形鋼腹板PC組合梁設計與應用[M].北京:人民交通出版社,2009.

Xu Qiang,Wan Shui.Design and Application of the PC Composite Beam with Corrugated Steel Webs [M].Beijing: China Communications Press,2009.

[4] 任紅偉,劉保東,李鵬飛.考慮剪切滑移的波紋剛腹板預應力箱梁抗彎承載力計算[J].公路交通科技,2012,29(3):86-91.

Ren Hongwei,Liu Baodong,Li Pengfei.Calculation of flexural capacity for prestressed box girder with corrugated steel webs considering shear slip [J].Journal of Highway and Transportation Research and Development, 2012, 29(3): 86-91.

[5] 任紅偉.波紋剛腹板預應力混凝土箱梁彎曲性能試驗研究[J]. 鐵道學報,2008,30(1):61-64.

Ren Hongwei.Experimental study on prestressed concrete box- girders with corrugated steel webs under symmetrical loads[J].Journal of the China Railway Society, 2008, 30(1): 61-64.

[6] 聶建國,沈聚敏,袁彥聲.鋼-混凝土簡支組合梁變形計算的一般公式[J].工程力學,1994,11(1):21-27.

Nie Jianguo,Shen Jumin,Yuan Yansheng.A general formula for predicting the deflection of simply supported composite steel-concrete beams with the consideration of slip effect [J].Engineering Mechanics,1994,11(1): 21-27.

[7] Elgaaly M, Hamilton R,Seshadri A.Shear strength of beams with corrugated webs [J].Journal of Structure Division, ASCE,1996, 122(4):390-398.

[8] 陳宜言. 波形鋼腹板預應力混凝土橋設計與施工[M].北京:人民交通出版社,2009.

Chen Yiyan.Design and Construction of Prestressed Concrete Bridge with Corrugated Steel Webs [M].Beijing: China Communications Press, 2009.

[9] 劉磊,錢冬升.波紋鋼腹板的受力行為[J].鐵道學報,2000,22(增刊1):53-56.

Liu Lei,Qian Dongsheng.Behaviors of corrugated steel webs under loading [J].Journal of the China Railway Society, 2000, 22(S1): 53-56.