集中荷載作用下兩端固支梁考慮SD效應的極限荷載分析

李 斌，韋成龍，李傳習

(1. 湖南理工學院 土木建筑工程學院，湖南 岳陽 414006；2. 長沙理工大學 土木與建筑工程學院，湖南 長沙 410076)

梁是土木工程中廣泛應用的結構，充分發揮其強度潛力具有重要的意義。許多學者在梁彈塑性階段的受力、變形以及塑性極限荷載的求解方面做了大量工作[1-5]。如曹天捷，等[3]通過對撓度和彎矩關系進行積分得到含未知支反力的撓曲線方程，然后利用邊界條件和連續性條件進行數值求解；李會知，等[4-5]利用虛功原理和單位荷載法研究了均布荷載作用下一次超靜定梁在彈塑性加載過程中支反力與荷載的關系，并對集中荷載作用下兩端固支超靜定梁的全部彈塑性受力變形過程進行了分析。

但是，材料的拉伸與壓縮屈服極限存在明顯差異(即SD效應)[6-11]，塑性材料的壓、拉屈服極限之比γ一般情況下為1～4/3。采用拉壓強度相同的本構關系來分析梁各階段受力、變形以及塑性極限荷載將給計算結果帶來誤差。為此，筆者選擇集中荷載作用下的兩端固支超靜定梁，將材料本構關系簡化成壓拉屈服極限不同的理想彈塑性模型，利用結構對稱性對SD效應影響的兩端固支梁彈塑性加載及變形特點進行分析。根據截面上的彎矩值將梁劃分為3個彈塑性發展狀態不同的梁段，分別建立各種狀態下的撓曲線近似微分方程。在對橫截面中性軸進行確定的同時，給出了兩端固支超靜定梁在跨中集中荷載作用下彈塑性發展各階段依賴于壓、拉強度比的極限彎矩和位移公式。探討了壓、拉強度比對該超靜定梁彎曲性能的影響。

1 受力變形特點分析

圖1為兩端固支超靜定梁。假定材料為理想彈塑性材料，跨中作用集中力為F，壓、拉屈服極限之比γ=σsc/σst>1，用σsc，σst分別表示材料拉、壓屈服極限。梁截面為矩形，屬于小柔度梁，可采用小變形理論分析，其等效結構如圖2(a)。從變形和受力來說，該半結構又處于反對稱狀態，中點4截面的彎矩為0，其受力和變形可進一步等效于圖3的靜定懸臂梁。

圖1 兩端固支超靜定梁Fig.1 Staticallay-fixed beam fixed at two ends

圖2 l/2等效結構Fig.2 Equivalent force diagram of l/2

圖3 等效懸臂梁Fig.3 Equivalent cantilever

超靜定梁其他計算點處的內力和位移可以根據該等效懸臂梁的計算結果，對稱計算得到。計算點7處的撓度y7=2y4，而其他各計算點處的撓度滿足：y7+i=y7-i=y7-yi+1(i=1，2，3…，6)。

2 等效懸臂梁的彈塑性分析

為方便問題的描述，令P=F/2，L=l/4。逐級增大荷載，則等效懸臂梁的受力變形將經歷以下3個階段。

2.1 階段Ⅰ

全梁處于彈性變形狀態，梁豎向位移為：

(1)

式中：H1，H2為積分常數。

在本階段，可以利用x=0處的位移及1階導數為0的邊界條件求得H1=H2=0。

2.2 階段Ⅱ

逐級增大P，等效懸臂梁靠近固定端部分梁段進入單側塑性狀態，橫截面上既有彈性區也有塑性區，在截面的彈性區內應力線性分布；塑性區內，應力等于屈服應力，如圖4。取長度為dx的微段，橫截面上的中性軸將偏離幾何中軸，如圖5。

圖4 微段變形Fig.4 Deformation of micro-segment

圖5 單側塑性狀態應力分布Fig.5 Stress distribution in unilateral plastic state

根據靜力平衡條件：

(2)

(3)

以及橫截面上任意點處的應變：

可得偏心距e、受拉彈性區高度d以及曲率半徑ρ(x)，即：

(4)

(5)

在橫截面上塑性區與彈性區的交界線y=d-e處，交界線上的應力已達屈服應力，則曲率半徑可表示為：

(6)

將式(4)帶入式(6)可得，單側塑性狀態下幾何中軸撓曲線y(x)的近似微分方程為：

(7)

I1ξ+I2

(8)

式中：I1，I2為積分常數，可以利用x=0處的位移及1階導數為0的邊界條件確定：

在完全彈性區域(x1≤x

Lx1) +I1

該階段，橫截面上最大壓應力不大于屈服壓應力，即：

(9)

2.3 階段Ⅲ

等效懸臂梁靠近固定端部分梁段進入雙側塑性狀態。此時，其他梁段部分處于單側塑性狀態、部分處于完全彈性狀態，如圖6。

圖6 雙側塑性狀態應力分布Fig.6 Stress distribution in bilateral plastic state

用階段Ⅱ的方法，可由圖6得到進入雙側塑性狀態梁段截面處：

(10)

將式(10)代入式(6)，并引入變換ξ=Gx+A，可得雙側塑性狀態下，幾何中軸的撓曲線方程為：

(11)

在單側塑性區域(x1≤x

同樣，在完全彈性區域(x2≤x

3 算例及結果分析

以長800 cm、寬10 cm、高12 cm的矩形截面鋼梁(坐標系及受力情況見圖1)為例，研究SD效應對兩端固支梁塑性極限彎矩Mu及變形的影響規律。材料σst=190 MPa，彈性模量E=200 GPa。

令γ分別等于4/3，1.20，1.10，1.05，1.00。分析SD效應對中性軸偏位、結構極限彎矩以及變形影響。

如圖7，考慮SD效應時固定端(跨中)所在截面的中性軸偏位呈現有規律的變化(F的初值為11.4 kN，逐級增大至78 kN)，當m>1時(即進入階段Ⅱ和階段Ⅲ)，中性軸與截面幾何中軸逐漸分離，且γ越大中心軸偏位越明顯。若取γ= 4/3，偏心距e最大可達到0.071 37h。因此，筆者將坐標系原點建立在橫截面的幾何中軸上，為描述梁截面上任意點的位移帶來了方便。

圖7 SD效應引起的中性軸偏位Fig.7 Neutral axis deviation caused by SD effect

圖8 γ對mmax的影響Fig.8 Effect of γ on mmax

圖9 γ對跨中撓度wmax的影響Fig.9 Effect of γ on the deflection value wmax

與材料的σsc和σst的情況相比較，取γ=σsc/σst=4/3時塑性極限彎矩提高14.286%;而在同級荷載作用下(集中力F=68 kN，此時固端截面和跨中截面附近區域進入了階段Ⅲ)，其跨中撓度減少16.804%。顯然考慮材料的SD效應時，梁的抗彎能力提高，實際上是材料自身潛力的充分發揮。

各級荷載作用下兩端固支梁考慮SD效應時(取γ=4/3)的彈塑性狀態分布區間以及彈塑性發展全過程的撓曲線，可見表1及圖10。

表1 各級荷載作用下梁的彈塑性狀態分布區間

圖10 各級荷載作用下梁的撓曲線Fig.10 Deflection curves of beam under loads

4 結 語

筆者利用結構對稱性，對兩端固支超靜定梁在跨中集中荷載作用下考慮材料SD效應時的彈塑性加載全過程進行了分析。推導了理想彈塑性矩形截面梁幾何中軸在完全彈性狀態、單側塑性狀態及雙側塑性狀態時的曲率方程，得到了懸臂梁幾何中軸的曲率方程和位移方程。所得的解不僅能包含經典塑性理論的結果，而且能反映材料的壓、拉強度差效應.分析可知，考慮材料SD效應時，中心軸在彈塑性加載過程中逐漸偏位，塑性極限彎矩和抗彎能力提高。因此，考慮材料SD效應可以得出更符合材料性質的極限荷載，可以更好的發揮材料的強度潛力，取得顯著的經濟效益。

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