淺析函數與方程思想及其應用

薛文佳，樸勇杰

摘要：函數與方程思想在數學學習中是一種十分重要的思想。本文闡述了函數與方程思想的定義，主要論述了交軌法、判別式法、構造函數與方程法及換元法四種有關函數與方程思想的解題方法以及在例題中的應用，以供讀者參考。

關鍵詞：函數；方程；解題方法

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）02-0102-02

Analysis of Functions and Equation Ideology and its Application

XUE Wen-jia，PIAO Yong-jie*

（Department of mathematics，College of Science，Yanbian University，Yanji 133002，China）

Abstract：In the process of learning mathematics，function and equation ideology is an important idea.The paper mainly illustrates the definition of the function and equation，introduces four solutions of the problems of function and equation，for instance，track intercross，discriminant method，the construction of function and equation，and substitute method as well as the application of them for readers.

Key words：function；equation；solution approach

一、引言

函數與方程思想體現出的是數學知識、能力、及其本質，同時它也體現了數學的學科特點。函數與方程思想在中學數學解題中是最基本的思想，所以對于中學數學的學習，十分有必要加強這種思想方法的訓練，不斷地提高學生思維的靈活性。

函數思想即為把問題中的量分化為變量和常量，并把這些量用字母表示出其相互關系，再利用函數的性質解決問題；而方程思想是把問題中的量分化為已知量和未知量，并把這些量用字母表示出其關系，利用方程、不等式的性質解決問題。總之一句話，函數與方程思想就是把數學問題都利用函數與方程去解決問題。

二、函數與方程思想的應用

在本文，我們將通過四種方法具體闡述函數與方程思想在解決數學問題中的重要應用。

（一）交軌法

交軌法也是方程組法的幾何解釋，在列成的方程組中每一個方程均表示一條軌跡，要求這些軌跡的“交”也就是求方程組的解。利用交軌法的解題步驟一般為先把問題化歸為求一個“點”；再把已知條件分成幾部分，使得每一個條件都形成一個軌跡；最后利用幾何法或代數法求得軌跡的“交點”。

例1：A1，A2是橢圓■+■=1=1的長軸的兩個端點，P1，P2是垂直于A1，A2的弦的兩個端點，則直線A1P1與A2P2交點的軌跡方程。

解：設交點P（x，y），A1（-3，0），A2（3，0），P1（x0，y0），P2（x0，-y0）A1，P1，P共線，則有■=■ ①

A2，P2，P共線，則有■=■ ②

①②聯立，解得x0=■，y0=■

代入①得到軌跡方程■-■=1

評論：本例題是交軌法在解析幾何中的典型應用，動點的約束分為兩部分，即得到①②構成的方程組，解開得到的即為交點的軌跡方程。此題也是典型的條件組問題，是高考的重點。

（二）判別式法

判別式法就是利用方程的系數來判斷根的情況，在解決問題時，將問題轉化為二次方程，再利用判別式法和方程的性質解決問題。

例2：（1979年高考題）若（z-x）-4（x-y）（y-z）=0，

求證：x，y，z成等差數列。

解析：分兩種情況

（1）當x=y時，由張定條件易得z=x，因此x=y=z，所以x，y，z成等差數列。

（2）當x≠y時，構造判別式為Δ=（z-x）2-4（x-y）（y-z）的一元二次方程：

（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0 ③

Δ=（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，

∵方程③有相等的實根t1=t2

又直接觀察可知方程③有根t=1

∴t1=t2=1由違達定理得■=t1t2=1，

∴x-y=y-z，即x，y，z成等差數列。

評論：此題雖是早年的高考題，但其體現出判別式法的本質。本題也是構造方程的例子，利用Δ構造方程，然后解決問題。需要注意的是二次方程的二次系數不能為零，故本題應分類別解答。

（三）構造函數與方程

構造函數與方程的思想就是根據問題給出的條件和結論所具有的特點，構造出條件和結論的函數與方程，借助函數或方程去解決問題。

例3：（上海高考）對于函數f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為函數f（x）的不動點。

已知函數f（x）=ax2+（b+1）x+b-1（a≠0）

（1）當a=1，b=-2時，求函數f（x）的不動點；

（2）若對于任意實數b，函數f（x）恒有一個不動點，求a的值。

解析：（1）依題意得x02-x0-3=x0，endprint

∴x02-2x0-3=0，∴x0=-1或x0=3

∴函數的不動點為-1或-3。

（2）由函數f（x）恒有一個不動點可知ax2+（b+1）x+b-1=x

即ax2+bx+b-1=0，

于是Δ=b2-4a（b-1）=0

b2-4ab+4a=0恒成立，

∴Δ=（-4a）2-4×4a=0

∴a（a-1）=0，∴a=0或a=1

評論：本題中的新情境——不動點，其實質是方程f（x）=x的根。構造函數ax2+（b+1）x+b-1=x這是利用變量相對的觀點來構造輔助函數，從中也可以看到數學的自由思考特點。

（四）換元法

在問題解決過程中，引入一個或幾個新“元”代換問題中的舊“元”，這樣便使關于新元的問題能夠得到解決；再將新元的結果帶回原題，即可得出舊元問題的結果，這種方法叫做換元法。

常用的三角代換：

（1）二次根式的三角代換（a>0）

■—代換：x=acosθ或x=asinθ

■—代換：x=atanθ或x=acotθ

■—代換：x=asecθ或x=acscθ

（2）二次曲線的三角代換：

x2+y2=r2—圓代換：x=rcosθy=rsinθ

■+■=1—橢圓代換：x=acosθy=bsinθ

（3）萬能置換：

■-■=1—雙曲線代換：x=asecθy=btanθ

■，■，■—代換：x=tan■

例4： 求函數y=■+■的值域

解析：由（■）2+（■）2=1，且0≤x≤1

做代換■=cosθ■=sinθ，0≤x≤■

∴y=cosθ+sinθ=■sin（θ+■）

■≤θ+■≤■

∴1≤y≤■，即函數值域是[1，■]。

評論：此題為典型的圓代換，這類換元是根號里面的整體換元，代換時要注意換元后的取值范圍，確保前后一致。

總之，函數與方程思想所涉及的知識點多面廣。它不僅是中學數學學習中十分重要的思想，也是各地高考的重點。學生如能熟練地利用一些函數與方程思想去解題，將會起到事半功倍的效果，也會常有“柳暗花明又一村”“一覽眾山小”的情況出現。因此，我們要掌握函數與方程思想在解題中的各種方法和要點，要重視和學會運用各種方法去分析問題、轉化問題達到最后的解決問題。

參考文獻：

[1]張同君.中學數學解題研究[M].長春：東北師范大學出版社，2002.

[2]燕培雄.一元二次方程的根的判別式及其應用[J].中學生數理化（教與學），2011，（9）：59.

[3]于江洪.點擊函數與方程思想[J].中學生數理化（高中版），2011，（5）：9-10.

[4]曹慶.淺談換元法在求解某高中數學問題中的應用[J].都是家教：上半月，2011，（12）：226-227.

[5]羅國浩.淺談數學思想在不等式中的應用[J].教師，2009，（23）：34-35.

作者簡介：薛文佳，女，數學教育專業研究生。通信作者：樸勇杰，男，教授，理學博士，從事數學教育和非線性分析。endprint

∴x02-2x0-3=0，∴x0=-1或x0=3

∴函數的不動點為-1或-3。

（2）由函數f（x）恒有一個不動點可知ax2+（b+1）x+b-1=x

即ax2+bx+b-1=0，

于是Δ=b2-4a（b-1）=0

b2-4ab+4a=0恒成立，

∴Δ=（-4a）2-4×4a=0

∴a（a-1）=0，∴a=0或a=1

評論：本題中的新情境——不動點，其實質是方程f（x）=x的根。構造函數ax2+（b+1）x+b-1=x這是利用變量相對的觀點來構造輔助函數，從中也可以看到數學的自由思考特點。

（四）換元法

在問題解決過程中，引入一個或幾個新“元”代換問題中的舊“元”，這樣便使關于新元的問題能夠得到解決；再將新元的結果帶回原題，即可得出舊元問題的結果，這種方法叫做換元法。

常用的三角代換：

（1）二次根式的三角代換（a>0）

■—代換：x=acosθ或x=asinθ

■—代換：x=atanθ或x=acotθ

■—代換：x=asecθ或x=acscθ

（2）二次曲線的三角代換：

x2+y2=r2—圓代換：x=rcosθy=rsinθ

■+■=1—橢圓代換：x=acosθy=bsinθ

（3）萬能置換：

■-■=1—雙曲線代換：x=asecθy=btanθ

■，■，■—代換：x=tan■

例4： 求函數y=■+■的值域

解析：由（■）2+（■）2=1，且0≤x≤1

做代換■=cosθ■=sinθ，0≤x≤■

∴y=cosθ+sinθ=■sin（θ+■）

■≤θ+■≤■

∴1≤y≤■，即函數值域是[1，■]。

評論：此題為典型的圓代換，這類換元是根號里面的整體換元，代換時要注意換元后的取值范圍，確保前后一致。

總之，函數與方程思想所涉及的知識點多面廣。它不僅是中學數學學習中十分重要的思想，也是各地高考的重點。學生如能熟練地利用一些函數與方程思想去解題，將會起到事半功倍的效果，也會常有“柳暗花明又一村”“一覽眾山小”的情況出現。因此，我們要掌握函數與方程思想在解題中的各種方法和要點，要重視和學會運用各種方法去分析問題、轉化問題達到最后的解決問題。

參考文獻：

[1]張同君.中學數學解題研究[M].長春：東北師范大學出版社，2002.

[2]燕培雄.一元二次方程的根的判別式及其應用[J].中學生數理化（教與學），2011，（9）：59.

[3]于江洪.點擊函數與方程思想[J].中學生數理化（高中版），2011，（5）：9-10.

[4]曹慶.淺談換元法在求解某高中數學問題中的應用[J].都是家教：上半月，2011，（12）：226-227.

[5]羅國浩.淺談數學思想在不等式中的應用[J].教師，2009，（23）：34-35.

作者簡介：薛文佳，女，數學教育專業研究生。通信作者：樸勇杰，男，教授，理學博士，從事數學教育和非線性分析。endprint

∴x02-2x0-3=0，∴x0=-1或x0=3

∴函數的不動點為-1或-3。

（2）由函數f（x）恒有一個不動點可知ax2+（b+1）x+b-1=x

即ax2+bx+b-1=0，

于是Δ=b2-4a（b-1）=0

b2-4ab+4a=0恒成立，

∴Δ=（-4a）2-4×4a=0

∴a（a-1）=0，∴a=0或a=1

評論：本題中的新情境——不動點，其實質是方程f（x）=x的根。構造函數ax2+（b+1）x+b-1=x這是利用變量相對的觀點來構造輔助函數，從中也可以看到數學的自由思考特點。

（四）換元法

在問題解決過程中，引入一個或幾個新“元”代換問題中的舊“元”，這樣便使關于新元的問題能夠得到解決；再將新元的結果帶回原題，即可得出舊元問題的結果，這種方法叫做換元法。

常用的三角代換：

（1）二次根式的三角代換（a>0）

■—代換：x=acosθ或x=asinθ

■—代換：x=atanθ或x=acotθ

■—代換：x=asecθ或x=acscθ

（2）二次曲線的三角代換：

x2+y2=r2—圓代換：x=rcosθy=rsinθ

■+■=1—橢圓代換：x=acosθy=bsinθ

（3）萬能置換：

■-■=1—雙曲線代換：x=asecθy=btanθ

■，■，■—代換：x=tan■

例4： 求函數y=■+■的值域

解析：由（■）2+（■）2=1，且0≤x≤1

做代換■=cosθ■=sinθ，0≤x≤■

∴y=cosθ+sinθ=■sin（θ+■）

■≤θ+■≤■

∴1≤y≤■，即函數值域是[1，■]。

評論：此題為典型的圓代換，這類換元是根號里面的整體換元，代換時要注意換元后的取值范圍，確保前后一致。

總之，函數與方程思想所涉及的知識點多面廣。它不僅是中學數學學習中十分重要的思想，也是各地高考的重點。學生如能熟練地利用一些函數與方程思想去解題，將會起到事半功倍的效果，也會常有“柳暗花明又一村”“一覽眾山小”的情況出現。因此，我們要掌握函數與方程思想在解題中的各種方法和要點，要重視和學會運用各種方法去分析問題、轉化問題達到最后的解決問題。

參考文獻：

[1]張同君.中學數學解題研究[M].長春：東北師范大學出版社，2002.

[2]燕培雄.一元二次方程的根的判別式及其應用[J].中學生數理化（教與學），2011，（9）：59.

[3]于江洪.點擊函數與方程思想[J].中學生數理化（高中版），2011，（5）：9-10.

[4]曹慶.淺談換元法在求解某高中數學問題中的應用[J].都是家教：上半月，2011，（12）：226-227.

[5]羅國浩.淺談數學思想在不等式中的應用[J].教師，2009，（23）：34-35.

作者簡介：薛文佳，女，數學教育專業研究生。通信作者：樸勇杰，男，教授，理學博士，從事數學教育和非線性分析。endprint