四次C-Bézier曲線的形狀修改

秦新強，申曉利，胡鋼

西安理工大學理學院，西安710054

1 引言

曲線曲面的形狀修改一直是CAGD領域中一項基本的技術，對于曲線的實用化有著重要的意義，許多學者在這一領域已做了大量的研究工作[1-4]。C-Bézier曲線曲面[4-8]作為CAGD中一種新穎的造型曲線曲面，不僅保留了傳統Bézier曲線曲面的許多優點，而且能夠方便、精確地構造常規的二次曲線曲面，還具有算法簡單，存儲空間小，參數選擇容易等特點，因此其在描述曲線曲面方面有著重要的作用。本文在分析四次C-Bézier曲線幾何模型[9]的基礎上，對四次C-Bézier曲線的形狀調整進行了研究，通過修改曲線的控制頂點和形狀參數，分別提出了兩種調整四次C-Bézier曲線形狀的有效新方法，并給出了具體的實例。

2 四次C-Bézier曲線的定義及性質

定義1 對任意的t∈[0，α]，α∈[0，2π]，稱為空間Φ=span{sin t，cos t，t2，t，1}上的一組正規B基[9]，式中u4(t)=t2-2 cos C(t)，S=sin C(α)=α-sinα，C=cos C(α)=1-cosα，cos C(t)=1-cos t，Z3(t)=sin C(t)/S。

定義2 設Pi(i=0，1，2，3，4)為曲線的控制頂點向量，α是任意實數，且0≤t≤α，0≤α≤2π，則曲線

稱為四次C-Bézier曲線[9]。其中bi(t)??(i=0，1，2，3，4)為式所定義的基函數。當α→0時，四次C-Bézier曲線逼近于四次Bézier曲線。由式（1）和（2）可以推出四次C-Bézier曲線具有凸包性、變差縮減性、保凸性，以及如下的端點性質。

由于形狀控制參數α的引入，使得四次C-Bézier曲線具有比傳統Bézier曲線更強的曲線表達能力。當曲線的控制頂點固定不變時，讓α在(0，2π)之間變化可產生一族四次C-Bézier曲線。圖1給出了一族α取不同值的四次C-Bézier曲線圖形，圖中曲線從上到下對應的參數依次取值為α=2，π，6，2π。

圖1 一族α取不同值的四次C-Bézier曲線

3 基于自身參數的四次C-Bézier曲線的形狀修改

四次C-Bézier曲線是由基函數和控制頂點混合生成的，由于其基函數中引入了的形狀控制參數α，所以增強了四次C-Bézier曲線的形狀控制能力。顯然，形狀參數α和控制頂點都會影響著曲線的整體形狀。

3.1 調節控制參數α修改曲線的形狀

假設控制頂點的位置保持不變，對于τ∈[0，1]，m，n分別為xlim(0，τ)和x(2π，τ)上的點，則可近似地認為α軌道上的點s(α，τ)在mn的連線上，且有

這一近似方法即可以將參數α對曲線的作用用直觀的形式表達出來，又可以為通過調節控制參數α來修改曲線的形狀提供了依據。

當α減小時，四次C-Bézier曲線逐漸靠近相應的四次代數多項式曲線xlim(0，τ)；當α增加時，四次C-Bézier曲線逐漸靠向相應的α=2π時的C曲線x(2π，τ)，(0＜τ≤1)。所以，參數α對整條曲線段的調節范圍便是xlim(0，τ)和x(2π，τ)之間的區域。

在實際的工程曲線設計中，經常需要求一條曲線經過某給定的點。設S為調節范圍內的任一點，根據上面對α作用的分析，只要S位于xlim(0，τ)和x(2π，τ)之間的區域，就可以通過選擇合適的α使得四次C-Bézier曲線通過點S。

以下可分兩步完成，具體做法如下：

（1）求τ。可采用二分法通過逐步求精反求τ。xlim(0，τ)和x(2π，τ)之間的直線段表示如下：

P1(k，τ)=kx(2π，τ)+(1-k)xlim(0，τ)，0≤k≤1

顯然希望找到τ0使得S在P1(k，τ0)上，具體算法為：

步驟1 取初值a=0，b=1；

步驟2 令τ0

步驟3 若S在P1(k，τ0)上，輸出τ0，否則轉步驟4；

步驟4 若S在P1(k，τ0)的左側，則令b=τ0，若S在P1(k，τ0)的右側，則a=τ0，轉步驟2。

通過此算法便可以求出τ0使得s(a，τ0)過已知點S。

（2）求α。由第（1）步求出的τ0可計算d1=d(S，x(2π，τ0))和d2=d(S，xlim(0，τ0))，因此由式（4）可得：

如果此時得到的α不滿足精度要求，還可以利用二分法，進一步提高精度直至滿足要求。具體步驟為：

步驟1 將α和τ0帶入四次C-Bézier曲線的方程得到點S′；

步驟2 若S′與S的近似精度滿足要求，則輸出S′，否則步驟3；

步驟3 若S′比S的更靠近xlim(0，τ)，則令反之令a=，轉步驟1。

3.2 調節控制頂點修改四次C-Bézier曲線的形狀

假設S為式（2）所定義的一條四次C-Bézier曲線Bα(t)上的某一點，其對應的變量t值為ts，要使S點移動到給定的T點，可通過調整控制頂點的位置來實現。不妨假設曲線各控制頂點Pi的位移矢量分別為δi(i=0，1，2，3，4)，則曲線上每點的位移量可表示為：

式中，0≤t≤1。

實際工程應用中常使用以下兩種方法：

（1）保持首末兩點的位置不變，采用約束優化方法使整條曲線的變形最小。

首先，建立如下約束條件：

其目標函數為：

其次，為了使得上述目標函數取最小，由拉格朗日乘數法可以定義拉格朗日方程為：

式中，λ=[λx，λy，λz]為拉格朗日乘數向量。令

則可得如下方程組：

最后，解上述方程組式（7），便可求得中間3個控制頂點的位移為：

由此可見，采用約束優化的方法移動中間3個控制頂點，控制頂點的位移方向與曲線上給定點的移動方向相同，其大小與相應的四次C-Bézier基函數成正比。

（2）保持首末點的位置和切矢方向不變。為了保證四次C-Bézier曲線段之間的G1連續，每段曲線在形狀修改時，首末點的位置和切矢方向都應保持不變，再使中間點P2位置不變，另外兩點P1、P3的位移δ1、δ2滿足：

式中，前兩個條件保證了調整控制頂點前后曲線的首末點的切矢方向不變。

上述方程組的幾何意義是將Δα在兩個方向(P1-P0)和(P4-P3)上分解成Δα1和Δα2，那么

式中，δ1、δ2分別為P1、P3的位移矢量。

圖2給出了一個通過移動曲線控制頂點來修改四次C-Bézier曲線形狀的實例。圖2中，曲線的形狀參數α=2π，而圖2（a）、圖2（b）和圖2（c）中分別移動的控制頂點個數分別為5個、3個和2個。

圖3給出了在保持端點性質條件下的四次C-Bézier曲線形狀修改的實例。圖3（a）保持了首末端點位置不變，而圖3（b）保持了首末點位置和切矢都不變。

圖2 移動控制頂點改變四次C-Bézier曲線形狀幾何造型

圖3 調節控制頂點來修改四次C-Bézier曲線的形狀

4 結論

基于四次C-Bézier曲線的幾何模型，分別通過修改曲線的控制頂點和形狀參數，提出了兩種調整四次C-Bézier曲線形狀的有效新方法。本文方法不僅增加了四次C-Bézier曲線造型方法的靈活性，在一定程度上克服了工程中該曲線形狀難以調節和控制的問題，而且還可以達到使曲線經過給定目標點或滿足一定條件的近似表示的目的，在CAD/CAM工程中的應用也較為廣泛。

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