關于提高概率論課程教學效果的一些思考

葉 飛

(銅陵學院數學與計算機學院，安徽銅陵，244061)

概率論是從數量上研究隨機現象的規律性的學科，它在自然科學、技術科學、社會科學和管理科學中有著廣泛的應用[1]。概率論是高等數學一個重要的組成部分，在學生后續的專業課程學習中起著非常重要的作用。近年來，一些教育工作者對有關概率論課程教學方面的問題進行了一些有益的探索[2-4]。筆者結合多年的教學實踐和經驗，從以下四個方面對概率論課程教學進行分析，以提高教學效果。

一、加強基本概念的辨析與理解

數學概念是數學的基石，沒有它便無法構筑理論體系[5-6]。概念表達形式是詞或詞組，但這只是表象，關鍵是要弄清楚概念的內涵和外延。在概率論的教學中會涉及很多抽象的數學概念，學生對這些概念的辨析是否準確、理解是否透徹，直接關系到概率論課程教學效果的好壞。在教學中，教師應該注意加強學生對這些基本概念的辨析與理解。下面舉一些實例。

(一)頻率與概率

在非數學專業所使用的概率論教材中，一般使用頻率來定義概率，從統計的角度給出概率的定義，這樣便于學生直觀地理解。概率是概率論中最基本的概念，正確理解頻率與概率的異同，對于學習概率論非常重要。根據有關文獻，頻率和概率的定義分別如下[7]：

定義1 在相同的條件下，進行了n次試驗，在這n次試驗中，事件A發生的頻數nA與試驗總次數n的比值nA/n稱為事件A發生的頻率。

定義2 在相同的條件下，重復進行了n次試驗，當試驗次數n很大時，事件A發生的頻率穩定地在一個常數p附近擺動，通常，n越大，擺動的幅度越小，稱常數p為事件A的概率。

由定義1和定義2可以看出，事件A的頻率是多次試驗的統計結果，是隨機的，受試驗次數n的影響，但不完全由n決定。一般隨著試驗次數n的逐漸增大，頻率波動的幅度逐漸減小并趨于穩定。事件A的概率是客觀存在的，是確定的，與試驗次數n無關。概率是對事件A發生可能性的一種度量，反映了事物的某種客觀屬性。當試驗次數n足夠大時，頻率充分接近概率，此時可以使用頻率來近似估計概率。頻率和概率是具有一些相同性質的，如非負性、正則性和可加性等。下面通過例1幫助學生深入理解頻率與概率之間的關系。

例1 對上海市某公共汽車站的客流量進行調查，統計了某天上午10∶30至11∶47每隔20s到來的乘客批數(每批可能有數人同時來到)，共得到230個記錄。我們分別計算了到來0批、1批、2批、3批、4批及4批以上乘客的時間區間的頻數，結果列于表1中。經過比較，可以看出其相應的頻率與λ=0.87的泊松分布符合得很好。表中λ的計算如下：

表1 公共汽車客流量統計

分析：這是《概率論與數理統計》[7]中第二章第二節中的一個例題。在教學過程中，教師常常發現學生對上述λ的求法感到困惑。究其原因，可能是學生沒有充分理解頻率與概率之間的關系。在題目的已知條件中，盡管只給出了一些關于客流量的統計數據，但由于n較大，所以可以使用頻率來近似估計概率，然后根據“泊松分布的數學期望等于泊松分布的參數”這個事實，可求得λ的值。

(二)離散型隨機變量和連續型隨機變量

隨機變量是概率論中一個非常重要的概念，通過界定這一概念實現了使用分析學研究概率論。下面根據有關文獻給出隨機變量的一般定義[7]：

定義3 設E是隨機試驗，它的樣本空間是Ω。如果對于每一個樣本點ω∈Ω都唯一地有一個實數X(ω)與它對應，則稱單值實值變量X(ω)為一個隨機變量。

在概率論的教學中，教師一般只介紹離散型隨機變量和連續型隨機變量。于是，學生常常認為隨機變量只有離散型和連續型這兩類。事實上，隨機變量還有第三種類型，即奇異型隨機變量。盡管對于非數學專業的學生來說，完全理解奇異型隨機變量有一定的困難，但需要說明這個問題，以免學生產生誤解。

此外，非數學專業的學生常常難以理解離散型隨機變量中關于可列無限的描述。因此，為了促進學生對離散型隨機變量的學習和理解，有必要補充一些關于集合勢的基本概念與結論，讓學生了解數學上塑造“無限”的基本方式[8]。并且，這對于學生理解概率的可列可加性也是非常必要的。

(三)回置式抽樣和非回置式抽樣

在概率論中經常涉及抽樣問題。根據抽取樣本方式的不同，抽樣可分為回置式抽樣和非回置式抽樣。回置式抽樣是指從總體中抽取一個個體進行觀察、記錄后再放回總體，使之重新參與下一次的抽樣。在回置式抽樣中，一個個體可以被反復抽取多次。非回置式抽樣是指已被抽取的個體經觀察、記錄后不再放回總體，不再參與抽樣。在非回置式抽樣中，一個個體至多被抽取一次。顯然，在抽樣問題中，事件的概率受到抽樣方式的影響。不難推斷，當總體足夠大且樣本較小時，抽樣方式對概率影響較小，在某種程度上可以忽略不計。在這種情況下，非回置式抽樣可以被近似看作是回置式抽樣，這樣便于一些問題的求解和計算。

例2 設某種燈泡的使用壽命超過5000小時的為一等品。已知某一大批產品中，一等品的概率為0.2，現隨機地抽取15只燈泡。試求這15只中含有的一等品數X的分布律。

分析：這是《概率論與數理統計》第二章第二節中的一個例題[7]，是一個典型的非回置式抽樣問題。在教學的過程中，發現學生一般都會首先想到使用超幾何分布來求解。當使用超幾何分布來求解時，需要知道這批燈泡的總數，假設燈泡的總數為N，則一等品數X的分布律為：

由于這批燈泡的總數是未知的，所以使用超幾何分布來解決問題是無法得到結果的，盡管這個方法在邏輯分析上完全正確。值得注意的是，在這個題目的條件中提到“某一大批產品”，這意味著“總體是足夠大的”，同時只“抽取15只燈泡”，說明樣本較小。在這樣的情況下，回置式抽樣可以被近似地看作非回置式抽樣。基于這樣的假定，“抽取15只燈泡”可以被看作一個15重的獨立實驗序列概型，則一等品數X的分布律近似為：

(四)伽馬函數

伽馬函數(Gamma Function)是階乘函數在實數上的延拓，在連續型隨機變量的學習中起著非常重要的作用。然而，在教學過程中常常發現學生對伽馬函數感到困惑和不解，所以有必要加強伽馬函數的辨析與理解。下面根據有關文獻給出伽馬函數的一般定義[9]：

定義4 伽馬函數是一個含參變量t的廣義積分，即

例3 設X∶N(μ,σ2)，求E(X),D(X).

類似地，利用伽馬函數的性質可以方便地求出D(X)=σ2.

同時，在概率論中還有一些連續型分布與伽馬函數有關，如伽馬分布和β分布，可見正確理解和掌握伽馬函數是非常必要的。

二、注重反例在概率論教學中的運用

在概率論課程教學中，例子是教學內容中的重要組成部分。每當給出一個定義和定理時，總是需要舉出相應的例子。一方面，通過例子來說明定義和定理是言之有物的，從而詮釋定義和定理的數學合理性；另一方面，通過例子可以加深學生對定義和定理的理解，使學生獲得更加直觀的認識。例子一般有說明性的例子和反例兩種類型。反例在概率論的教學中有著重要的作用。合理地使用反例可以促進學生對知識點的理解與掌握。正如蓋爾鮑姆和奧姆斯特德[10]所說，一個數學問題用一個反例予以解決，給人的刺激猶如一出好的戲劇。例如，通過反例可以很好地說明“概率為0的事件不一定是不可能事件、概率為1的事件不一定是必然事件”等事實。由于這些反例已有較多的文獻進行說明，這里不再贅述。下面就其他的一些反例在概率論課程教學中的應用進行分析。

例4 設有兩個隨機事件A,B，若P(A)≤P(B)，則未必有A?B。

分析：在概率的基本性質中有“對于事件A,B，若A?B，則有P(A)≤P(B)”，這個性質一般被稱為概率的單調性。單調性也是微積分中的一個基本概念，且一般有“設f(x)是集合D上的單調增函數，f(x)≤f(y)，則有x≤y”。基于這個事實，學生會自然地認為“對于兩個隨機事件A,B，若P(A)≤P(B)，則必有A?B”。當然，這個結論是錯誤的。為了使學生獲得直觀具體的認識，可以通過下列反例予以說明：

擲一枚質地均勻的骰子，觀察出現的點數。在這個隨機試驗中，用A表示“出現點數為2”這個隨機事件，用B表示“出現點數為奇數”這個隨機事件。顯然，P(A)=1/6,(B)=1/2，滿足條件P(A)≤P(B)，但沒有A?B。

類似地，可以通過反例說明“設有兩個隨機事件A,B，若P(A)=P(B)，則未必有A=B”。相應的反例如下：

擲一枚質地均勻的骰子，觀察出現的點數。在這個隨機試驗中，用A表示“出現點數為偶數”這個隨機事件，用B表示“出現點數為奇數”這個隨機事件。顯然，P(A)=1/2,(B)=1/2，滿足條件P(A)=P(B)，但沒有A=B。

例5 若P(A)>0,P(B)>0，證明“事件A與事件B互不相容”與“事件A與事件B相互獨立”不能同時成立。

這是《概率論與數理統計》習題一中的一道題目[7]，一般采用反證法，具體如下：

假設“事件A與事件B互不相容”與“事件A與事件B相互獨立”同時成立。則有：

0=P(Φ)=P(AB)=P(A)P(B)>0.

顯然，上述結論是不可能成立的。所以，假設不成立，而原命題成立。

在概率論的教學中，經常發現學生對“互不相容”和“相互獨立”兩個概念產生理解上的偏差，容易將之混為一談。究其原因，是因為學生沒有透徹理解這兩個概念。在《概率論與數理統計》[7]中關于“互不相容”和“相互獨立”的定義分別如下：

定義5 若事件A與事件B不可能同時發生，則稱事件A與事件B互不相容。

定義6 若兩事件A,B滿足等式P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立。

由定義5和定義6不難看出，相容性描述的是事件間本身的關系，獨立性描述的是事件間概率的關系。例5中，若將條件P(A)>0,P(B)>0去掉，則其結論錯誤。這可以通過一個反例證明：

擲一枚質地均勻的骰子，觀察出現的點數。在這個隨機試驗中，用A表示“出現點數為7”這個隨機事件，用B表示“出現點數為奇數”這個隨機事件。顯然，A是不可能事件，即A=Φ，于是AB=Φ，也即“事件A與事件B互不相容”。同時P(A)=0,(B)=1/2，滿足條件P(AB)=P(A)P(B)=0，即“事件A與事件B相互獨立”。此時，“事件A與事件B互不相容”與“事件A與事件B相互獨立”同時成立。

在概率論課程教學中還有很多反例，恰當地運用反例可以加深學生對概念的理解和掌握，從而提高概率論課程的教學效果。

三、加強應用實例的講解與訓練

對于非數學專業的學生來說，學習數學的最終目的是把數學作為工具，用這一工具發現實際現象背后的規律，并解釋和說明實際現象，從而最終解決實際問題。運用數學解決問題，一般經歷從實際現象到概念模型，再到數學模型，最后模型求解這四個階段，如圖1所示。應用實例的講解和訓練是培養學生運用數學知識解決實際問題的一個重要途徑。概率論是一門應用性很強的學科，在概率論教學中加強應用實例的講解和訓練是非常必要的。這一方面可以增加學生應用數學的意識，另一方面可以增加學生學習數學的興趣，從而提高課堂教學效果。

圖1 運用數學解決問題的四個階段

《概率論與數理統計》[7]在應用實例方面做了許多有益的探索，在每一章的后面都給出了一些應用實例。筆者在講授概率論課程的時候，一般把應用實例融入相應的知識點中進行講解，每次都能激發學生的學習興趣，并能讓學生積極參與問題的討論。

例如，在講解古典概率這一部分內容時，如果只講解定義、定理和常規性的例題，學生會覺得抽象、枯燥。當引入“至少兩人的生日在同一天”“禍不單行”和“雙喜臨門”等應用實例時，通過使用概率論解釋日常生活中的現象，可以讓學生認識到概率論原來如此有趣且有用，可進一步激發學生的學習興趣。

教師還可以引入一些應用實例增加學生的安全意識。例如，在講解小概率事件時，可以引入“過馬路需小心”這個應用實例。對于每個人來講，每次過馬路出現事故的概率，即p值是很小的，但每個人在一生中過馬路的次數，即n是很大的。每次過馬路都可以被看作一個隨機試驗，在一生中過馬路的情形可以被看作一個n重的貝努里概型，于是一生中出現事故的期望值為np。為了減少出現事故的期望值np，一方面可以通過減少過馬路的次數來實現，另一方面可以通過減小過馬路出現事故的概率來實現。顯然，減少過馬路的次數似乎不太現實，所以我們能做的是增加自己的安全意識，從而減少過馬路出現事故的概率。另外，還可以舉類似的應用實例說明“多行不義必自斃”的概率內涵。

四、培養數學軟件的運用能力

隨著計算機技術的不斷進步和數學軟件的不斷發展，學生可以更加方便地利用計算機輔助概率論課程的學習。在概率論的學習中適當地使用數學軟件，一方面可以為學生提供更加豐富的感官認識，另一方面可以進一步增強學生的應用意識，從而提高概率論的教學效果。下面分析如何在概率論課程教學中使用數學軟件Matlab。

例6 使用Matlab作圖認識正態分布密度函數的一些性質。

分析：正態分布是一種重要的連續型分布，具有密度函數

正態分布的密度函數是一個比較復雜的函數，如果通過人工進行描點作圖，則非常麻煩。但是，如果借助數學軟件Matlab的話，則可以很容易作出不同μ和σ的圖像。在Matlab命令窗口輸入如下命令：

hold on

x=-200:0.1:300;

y1=normpdf(x，30，36);

plot(x，y1)

y2=normpdf(x，30，49);

plot(x，y2)

y3=normpdf(x，30，64);

plot(x，y3)

運行后可分別作出正態分布N(30,62),N(30,72)和N(30,82)密度函數的圖形，如圖2所示。從圖2中很容易看出正態分布密度函數的一些性質，例如對稱性、單調性和最值。尤其可以看出當μ相同時，σ越大，圖形越平坦。

圖2 正態分布密度函數圖

例7 設某城市成年男子身高X服從近似正態分布N(170,62)(單位：cm)。問應如何設計公共汽車車門的高度，能使男子與車門碰頭的機會小于0.01？

分析：這是《概率論與數理統計》[7]第二章第四節中的一個例題。下面使用Matlab求解此題。

設公共汽車車門的高度為xcm，根據題意可知P{X>x}<0.01，進一步可得P{X≤x}≥0.99。于是可利用正態分布逆累積分布函數norminv對問題進行求解，在Matlab命令窗口輸入：

x=norminv(0.99，170，6)

運行可得x=183.9581。可知當公共汽車車門的高度為183 cm時，最能滿足要求。

[1] 嚴士健，王雋驤，劉秀芳.概率論基礎[M].北京：科學出版社，1982.

[2] 鄧華玲，傅麗芳，孟軍，等.概率論與數理統計課程的改革與實踐[J].大學數學，2004，20(1).

[3] 魏玲，萬暉，夏志明，等.概率統計課程的教法研究[J].高等理科教育，2006 (1).

[4] 宋明珠.關于條件概率及其應用教學方法的研究[J].重慶工商大學學報：自然科學版，2013，30(1).

[5] 徐利治，王前.數學哲學、數學史與數學教育的結合——數學教育改革的一個重要方向[J].數學教育學報，1994，3(1).

[6] 毛京中.高等數學概念教學的一些思考[J].數學教育學報，2003，12(2).

[7] 楊桂元.概率論與數理統計[M].成都：電子科技大學出版社，2008.

[8] 葉飛.再談對中學生數學“無限”觀念的教育[J].數學教育學報，2007，16(4).

[9] 李天勝.微積分[M].成都：電子科技大學出版社，2008.

[10] 〔美〕蓋爾鮑姆，奧姆斯特德.分析中的反例[M].高枚，譯.上海：上海科學技術出版社，1980.