李代數上同調與結構

李智龍

(四川大學數學學院，成都 610064)

一、引言

自從Riemann 1857年和Betti1871年關于同調數的研究以來，同調論有著較長的歷史［1］。在文獻［2］中，同調論和李理論聯系起來。最近文獻［3］利用文獻［4－6］，研究了局部單李代數的導子。熟知，導子和李代數的第一上同調有關，故研究導子與同調論有密切聯系。文獻［7］利用前人的結果，如文獻［8－10］，研究了 Whitehead第二引理的逆。這些研究說明同調論可以聯系數學的不同部分并仍在發展。本文計算了H2(g，Jg)，并給出其不為0的一個判別法，由此得到態射集Homk(Jg，Ug)上的方程問題。進一步闡述了一般系數第二上同調的類似結果。然后給出了一個“不存在維數小于3的半單李代數”的同調證明，并看出同調論與結構論之間的一些關聯。

二、李代數的第二上同調及方程問題

設g是域k上的李代數，Ug是g的泛包絡代數，Jg是g模滿態Ug→k的核

引理 1 如果H1(g，k)=H2(g，k)=0，則

定理1 設g滿足如下條件

(1)g=k⊕l，其中k是子代數，l是理想

(2)存在 0≠x0∈k，0≠v0∈l使得［x0，v0］=0

(3)存在f∈Homk(Jg，Ug)滿足f(x0v0)=x0f(v0)+1k，并且

則如下定義的Df是從g到Homk(Jg，Ug)的外導子。

證明:由k是子代數，l是理想，Df是導子等價于vDf(x)=v(xf)=0(x∈k，v∈l)。任給a∈Jg，(v(xf))(a)=v(x(f(a)))－v(f(xa))－x(f(va))+f(xva)，故Df是導子等價于

下面證明Df不是內導子。否則，存在h∈Homk(Jg，Ug)使得對任意y∈g，Df(y)=yh。這樣對x∈k，v∈l，vh=0，xf=xh，于是

注意到［x0，v0］=0，我們有

但這是不可能的，證畢。

注:文獻［11］提到對半單李代數，H2(g，Jg)≠0，但其提示可能不足以給出一個證明。

問題 1:注意到H1(g，k)=Homk(gab，k)［13］，，故只要g≠［g，g］，H1(g，k)≠0。問題是能否找到非交換李代數g(g=［g，g］，H2(g，k)=0)使得定理 1 的條件成立，特別是條件(3)。

問題2:給定一個李代數g=k⊕l，方程f(xva)=v(f(xa))+x(f(va))－v(x(f(a)))在哪些初始條件下有解?如果不加初始條件，有多少通解?若有解，解是不是正則的，即是否是g模同態?

對一般的g模M，下面給出H2(g，M)≠0的條件

定理2H2(g，M)≠0 當且僅當 Der(g，Homk(Jg，M))≠Derinn(g，Homk(Jg，M))

定理3 設i:Jg→Ug是標準嵌入，H2(g，M)≠0當且僅當拉回映射

不滿。

三、同調與結構

這一節我們給出一些經典結果的同調論證明，將同調論和結構理論聯系起來。

設F是一個特征為0的域，下面的結果是經典的(參見文獻［12］)，但是可以用同調論直接看出來。

斷言1F上沒有維數小于3的半單李代數，故sl2(F)是最簡單的半單李代數。

同調證明:否則，設g是F上的半單李代數且維數小于3，則由 Whitehead 第一引理［13］和第二引理［13］，有H1(g，F)=H2(g，F)=0。但由文獻［13］241中F的g模結構，以及F的 Chevalley-Eilenberg預解式，有Hn(g，F)=F≠0，其中n=dimg。注意到n=1，2，矛盾。

注:雖然文獻［13］241中F的g模結構看似復雜，但實際上是平凡的，故和Whitehead引理中的模結構一致。

更一般地，我們有

斷言2 設g是域k上的李代數，若g=［g，g］，則k只有平凡g模結構。

證明:由文獻［13］241中域k上g模結構的定義知，

半單情形

設g是有限維半單李代數，則g有Cartan分解［12，14］

容易看出，取h的一組基h1，…，hm，然后取 0≠vα∈gα，則

是g的一組基。

對這組基底，若v∈h，則

右側顯然是0，因為半單李代數的根系關于原點對稱。而對v∈gα，由于［gα，gβ］∩gβ=0(α∈Φ，β∈Φ∪{0}，h=g0)，

總之，我們得到推論1在g半單時的結構論解釋，從而像斷言1那樣，再一次看到同調論和結構論的聯系。

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(責任編輯 張佑法)