例談“1”在小學數學解題中的妙用

宣國成

華羅庚曾說：“善于‘退，足夠地‘退，‘退到最原始而不失去重要性的地方，是學好數學的一個訣竅。”從一般退到特殊，從多維退到低維，從空間退到平面，從抽象退到具體……只要不影響問題的求解，對于許多復雜的問題，以退求進是一種重要的解題思想。在實際教學過程中，有很多的知識點，如果我們巧設“退路”，往往會有另一番收獲。根據多年的教學實踐，筆者認為妙用“1”作“輔助”或“退路”，不失為一種滲透數學思想、提升學生思維的有效策略。

一、巧補“1”，幫助學生理解變化規律

在學習了小數的乘除法之后，根據乘數（除數）的大小，判斷積（商）與被乘數（被除數）的大小，是教學中常見的題型。對于絕大多數學生來說，這類題型不難理解，但對于小部分學困生來說，卻往往會顧此失彼、錯誤不斷。如“比較大小”：2.68×1.03○2.68 ，0.95÷1.25○0.95，有的教師會采用先“劃”（劃出某個數）再“比”的方式進行，有的教師會用看因數（除數）是不是純小數來判斷，但對部分學困生來說，既要先搞明白純小數的意思，又要進行比較，這個彎不是一下子就能轉得過來，顯然也是不太現實的。對此不妨巧補“1”來解決此類題。如：2.68×1.03○2.68×1，這樣，使“○”的左右各變成乘法算式，其中一個因數相同，要比較大小只要看另一個因數的大小就可以了。因為根據積的變化規律可知：在乘法中，一個因數不變，另一個因數大，乘積就大。這樣一“補”就能順利比出大小了。同理，如：0.95÷1.25○0.95÷1。根據商的變化規律可知：在除法中，如果被除數不變，除數越小，商就越大。這樣的“退”不只是比較了大小，更是加深了對“積（或商）”變化規律的認識，不失為一種有用的“拐杖”。

二、巧借“1”，幫助學生掌握數量關系

理解和分析數量關系，是小學生數學學習的必要技能之一。目前，在解決數學問題的過程中， “數量關系”的理解是學生較為薄弱的內容。因此，很多教師都會花大力氣讓學生熟記一些常用的數量關系，以期達到根據數量關系（“葫蘆”）來達成解決問題（“畫瓢”）的目的。殊不知，“數量關系”在不同的情節下，無論是表達的順序，還是表現形式都是多變的，借助“熟記”來解決實際問題，不光會加重記憶負擔，也會使解題失去靈活性。如：一輛汽車行駛35千米用汽油2.45升，那么每升汽油能行駛（ ）千米，行駛1千米需要（ ）升汽油？這類題是學生很容易出錯的題型，因為它沒有很明顯的數量關系式可用，在行程問題中是用“路程=速度×時間”的關系。如果我們巧借“1”也同樣可使問題迎刃而解。請看：要求每升汽油能行駛多少千米。原先是2.45升，如今變成“1升”，必須“÷2.45”才會是“1升”。根據等式的性質，那另一個數“35”也同樣需要“÷2.45”，這樣列出來的算式，就是滿足條件的算式。

同理，要求行駛1千米需要多少升汽油，也應先把35千米變成1千米，也就是只要2.45÷35即可，具體函數量關系如下圖所示。借助“1”，可以解決很多“歸一”類題目，易懂又省時。

■

三、巧設“1”，幫助學生簡化解題思路

“比和比例”單元中要學生組成“比例”，這是易出較多錯誤的知識點。合理巧借“1”既可以幫助學生簡化思路，使復雜問題變成簡單問題，使學生的錯誤減少到最低程度，也會使學生的理解能力得以提升。如：甲數的■等于乙數的2.4倍，求甲數∶乙數=（ ）∶（ ）。很多學生由于受從左往右運算順序的影響，也往往會出現“甲數∶乙數=■∶2.4”這種錯誤。這時可借助“1”，根據倒數的知識，假設“甲數的■為1時，則甲數就是■”，同理，假設“乙數的2.4倍為1時，則乙數就是■”，即甲數∶乙數=■∶■=16∶5，具體數量關系如下圖所示。

甲數的■等于乙數的2.4倍

1（■） 1（■）

四、巧變“1”，幫助學生化解學習難點

在解方程單元中，求除數（減數）是未知項的方程，也是學生錯誤的高發區。此時借助巧變“1”，可幫助學生化解學習難點。如解方程：72÷2x=6，可以通過以下步驟進行。

72÷6÷2x=6÷6

12÷2x=1

2x=12

x=6

從上面的步驟中看到，這里借助商是“1”，巧妙地化解了求除數是未知數的難題，而且學生容易理解和掌握。因為要使商為“1”，只有“被除數=除數”時才能實現。

我們知道，從“知識的課堂”到“能力的課堂”再到“創新的課堂”，這種課堂的轉型，必須建立在以學生學習為中心的理念之上才能得以實現。從上述巧借“1”在數學解題中的實例探索中可以看到，當我們的數學組織教學工作圍繞著“學生中心”來教（或稱為“以學定教”）的時候，教學才能達到輕負高質的要求。也只有這樣，學生才可能感受到數學是能學習的，是可以接受的，進而走進數學，親近數學，喜歡數學，這也是數學教師所應追求的最終目的。

（責編 黃春香）endprint

華羅庚曾說：“善于‘退，足夠地‘退，‘退到最原始而不失去重要性的地方，是學好數學的一個訣竅。”從一般退到特殊，從多維退到低維，從空間退到平面，從抽象退到具體……只要不影響問題的求解，對于許多復雜的問題，以退求進是一種重要的解題思想。在實際教學過程中，有很多的知識點，如果我們巧設“退路”，往往會有另一番收獲。根據多年的教學實踐，筆者認為妙用“1”作“輔助”或“退路”，不失為一種滲透數學思想、提升學生思維的有效策略。

一、巧補“1”，幫助學生理解變化規律

在學習了小數的乘除法之后，根據乘數（除數）的大小，判斷積（商）與被乘數（被除數）的大小，是教學中常見的題型。對于絕大多數學生來說，這類題型不難理解，但對于小部分學困生來說，卻往往會顧此失彼、錯誤不斷。如“比較大小”：2.68×1.03○2.68 ，0.95÷1.25○0.95，有的教師會采用先“劃”（劃出某個數）再“比”的方式進行，有的教師會用看因數（除數）是不是純小數來判斷，但對部分學困生來說，既要先搞明白純小數的意思，又要進行比較，這個彎不是一下子就能轉得過來，顯然也是不太現實的。對此不妨巧補“1”來解決此類題。如：2.68×1.03○2.68×1，這樣，使“○”的左右各變成乘法算式，其中一個因數相同，要比較大小只要看另一個因數的大小就可以了。因為根據積的變化規律可知：在乘法中，一個因數不變，另一個因數大，乘積就大。這樣一“補”就能順利比出大小了。同理，如：0.95÷1.25○0.95÷1。根據商的變化規律可知：在除法中，如果被除數不變，除數越小，商就越大。這樣的“退”不只是比較了大小，更是加深了對“積（或商）”變化規律的認識，不失為一種有用的“拐杖”。

二、巧借“1”，幫助學生掌握數量關系

理解和分析數量關系，是小學生數學學習的必要技能之一。目前，在解決數學問題的過程中， “數量關系”的理解是學生較為薄弱的內容。因此，很多教師都會花大力氣讓學生熟記一些常用的數量關系，以期達到根據數量關系（“葫蘆”）來達成解決問題（“畫瓢”）的目的。殊不知，“數量關系”在不同的情節下，無論是表達的順序，還是表現形式都是多變的，借助“熟記”來解決實際問題，不光會加重記憶負擔，也會使解題失去靈活性。如：一輛汽車行駛35千米用汽油2.45升，那么每升汽油能行駛（ ）千米，行駛1千米需要（ ）升汽油？這類題是學生很容易出錯的題型，因為它沒有很明顯的數量關系式可用，在行程問題中是用“路程=速度×時間”的關系。如果我們巧借“1”也同樣可使問題迎刃而解。請看：要求每升汽油能行駛多少千米。原先是2.45升，如今變成“1升”，必須“÷2.45”才會是“1升”。根據等式的性質，那另一個數“35”也同樣需要“÷2.45”，這樣列出來的算式，就是滿足條件的算式。

同理，要求行駛1千米需要多少升汽油，也應先把35千米變成1千米，也就是只要2.45÷35即可，具體函數量關系如下圖所示。借助“1”，可以解決很多“歸一”類題目，易懂又省時。

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三、巧設“1”，幫助學生簡化解題思路

“比和比例”單元中要學生組成“比例”，這是易出較多錯誤的知識點。合理巧借“1”既可以幫助學生簡化思路，使復雜問題變成簡單問題，使學生的錯誤減少到最低程度，也會使學生的理解能力得以提升。如：甲數的■等于乙數的2.4倍，求甲數∶乙數=（ ）∶（ ）。很多學生由于受從左往右運算順序的影響，也往往會出現“甲數∶乙數=■∶2.4”這種錯誤。這時可借助“1”，根據倒數的知識，假設“甲數的■為1時，則甲數就是■”，同理，假設“乙數的2.4倍為1時，則乙數就是■”，即甲數∶乙數=■∶■=16∶5，具體數量關系如下圖所示。

甲數的■等于乙數的2.4倍

1（■） 1（■）

四、巧變“1”，幫助學生化解學習難點

在解方程單元中，求除數（減數）是未知項的方程，也是學生錯誤的高發區。此時借助巧變“1”，可幫助學生化解學習難點。如解方程：72÷2x=6，可以通過以下步驟進行。

72÷6÷2x=6÷6

12÷2x=1

2x=12

x=6

從上面的步驟中看到，這里借助商是“1”，巧妙地化解了求除數是未知數的難題，而且學生容易理解和掌握。因為要使商為“1”，只有“被除數=除數”時才能實現。

我們知道，從“知識的課堂”到“能力的課堂”再到“創新的課堂”，這種課堂的轉型，必須建立在以學生學習為中心的理念之上才能得以實現。從上述巧借“1”在數學解題中的實例探索中可以看到，當我們的數學組織教學工作圍繞著“學生中心”來教（或稱為“以學定教”）的時候，教學才能達到輕負高質的要求。也只有這樣，學生才可能感受到數學是能學習的，是可以接受的，進而走進數學，親近數學，喜歡數學，這也是數學教師所應追求的最終目的。

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華羅庚曾說：“善于‘退，足夠地‘退，‘退到最原始而不失去重要性的地方，是學好數學的一個訣竅。”從一般退到特殊，從多維退到低維，從空間退到平面，從抽象退到具體……只要不影響問題的求解，對于許多復雜的問題，以退求進是一種重要的解題思想。在實際教學過程中，有很多的知識點，如果我們巧設“退路”，往往會有另一番收獲。根據多年的教學實踐，筆者認為妙用“1”作“輔助”或“退路”，不失為一種滲透數學思想、提升學生思維的有效策略。

一、巧補“1”，幫助學生理解變化規律

在學習了小數的乘除法之后，根據乘數（除數）的大小，判斷積（商）與被乘數（被除數）的大小，是教學中常見的題型。對于絕大多數學生來說，這類題型不難理解，但對于小部分學困生來說，卻往往會顧此失彼、錯誤不斷。如“比較大小”：2.68×1.03○2.68 ，0.95÷1.25○0.95，有的教師會采用先“劃”（劃出某個數）再“比”的方式進行，有的教師會用看因數（除數）是不是純小數來判斷，但對部分學困生來說，既要先搞明白純小數的意思，又要進行比較，這個彎不是一下子就能轉得過來，顯然也是不太現實的。對此不妨巧補“1”來解決此類題。如：2.68×1.03○2.68×1，這樣，使“○”的左右各變成乘法算式，其中一個因數相同，要比較大小只要看另一個因數的大小就可以了。因為根據積的變化規律可知：在乘法中，一個因數不變，另一個因數大，乘積就大。這樣一“補”就能順利比出大小了。同理，如：0.95÷1.25○0.95÷1。根據商的變化規律可知：在除法中，如果被除數不變，除數越小，商就越大。這樣的“退”不只是比較了大小，更是加深了對“積（或商）”變化規律的認識，不失為一種有用的“拐杖”。

二、巧借“1”，幫助學生掌握數量關系

理解和分析數量關系，是小學生數學學習的必要技能之一。目前，在解決數學問題的過程中， “數量關系”的理解是學生較為薄弱的內容。因此，很多教師都會花大力氣讓學生熟記一些常用的數量關系，以期達到根據數量關系（“葫蘆”）來達成解決問題（“畫瓢”）的目的。殊不知，“數量關系”在不同的情節下，無論是表達的順序，還是表現形式都是多變的，借助“熟記”來解決實際問題，不光會加重記憶負擔，也會使解題失去靈活性。如：一輛汽車行駛35千米用汽油2.45升，那么每升汽油能行駛（ ）千米，行駛1千米需要（ ）升汽油？這類題是學生很容易出錯的題型，因為它沒有很明顯的數量關系式可用，在行程問題中是用“路程=速度×時間”的關系。如果我們巧借“1”也同樣可使問題迎刃而解。請看：要求每升汽油能行駛多少千米。原先是2.45升，如今變成“1升”，必須“÷2.45”才會是“1升”。根據等式的性質，那另一個數“35”也同樣需要“÷2.45”，這樣列出來的算式，就是滿足條件的算式。

同理，要求行駛1千米需要多少升汽油，也應先把35千米變成1千米，也就是只要2.45÷35即可，具體函數量關系如下圖所示。借助“1”，可以解決很多“歸一”類題目，易懂又省時。

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三、巧設“1”，幫助學生簡化解題思路

“比和比例”單元中要學生組成“比例”，這是易出較多錯誤的知識點。合理巧借“1”既可以幫助學生簡化思路，使復雜問題變成簡單問題，使學生的錯誤減少到最低程度，也會使學生的理解能力得以提升。如：甲數的■等于乙數的2.4倍，求甲數∶乙數=（ ）∶（ ）。很多學生由于受從左往右運算順序的影響，也往往會出現“甲數∶乙數=■∶2.4”這種錯誤。這時可借助“1”，根據倒數的知識，假設“甲數的■為1時，則甲數就是■”，同理，假設“乙數的2.4倍為1時，則乙數就是■”，即甲數∶乙數=■∶■=16∶5，具體數量關系如下圖所示。

甲數的■等于乙數的2.4倍

1（■） 1（■）

四、巧變“1”，幫助學生化解學習難點

在解方程單元中，求除數（減數）是未知項的方程，也是學生錯誤的高發區。此時借助巧變“1”，可幫助學生化解學習難點。如解方程：72÷2x=6，可以通過以下步驟進行。

72÷6÷2x=6÷6

12÷2x=1

2x=12

x=6

從上面的步驟中看到，這里借助商是“1”，巧妙地化解了求除數是未知數的難題，而且學生容易理解和掌握。因為要使商為“1”，只有“被除數=除數”時才能實現。

我們知道，從“知識的課堂”到“能力的課堂”再到“創新的課堂”，這種課堂的轉型，必須建立在以學生學習為中心的理念之上才能得以實現。從上述巧借“1”在數學解題中的實例探索中可以看到，當我們的數學組織教學工作圍繞著“學生中心”來教（或稱為“以學定教”）的時候，教學才能達到輕負高質的要求。也只有這樣，學生才可能感受到數學是能學習的，是可以接受的，進而走進數學，親近數學，喜歡數學，這也是數學教師所應追求的最終目的。

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