對(duì)逆矩陣求法的探究

摘 要：并不是所有矩陣都有逆矩陣，只有當(dāng)一個(gè)矩陣滿足一定的條件，作為可逆矩陣時(shí)，才能求其逆矩陣.為了能夠更好的求逆矩陣，本文歸納了求逆矩陣的方法，如定義法，利用分塊矩陣求逆矩陣，利用伴隨矩陣求逆矩陣等.針對(duì)不同的矩陣，尋求不同的方法，以便更方便的求解逆矩陣.

關(guān)鍵詞：逆矩陣；分塊矩陣；伴隨矩陣；初等矩陣；矩陣多項(xiàng)式

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2013）16-225-01

矩陣在高等代數(shù)理論中及其重要并且應(yīng)用廣泛，它是線性代數(shù)的核心，而矩陣求逆在矩陣中作為基礎(chǔ)工具，其解法也非常重要.本文對(duì)矩陣的求法作進(jìn)一步總結(jié).我們學(xué)的教材中有兩種方法，第一種要用到初等變換，第二種求逆矩陣的方法是從行列式的性質(zhì)得來(lái)的，除了此兩種方法之外，還有其他的求逆矩陣的方法.

一、可逆矩陣的定義

定義1.1 【令 是數(shù)域 上的 階矩陣.若是存在 上 階矩陣 ，使得 ，那么 叫做一個(gè)可逆矩陣（或非奇異矩陣），而 就稱(chēng)為 的逆矩陣記為 .】（1）

二、逆矩陣的主要求法

2.1 利用矩陣可逆的定義求逆矩陣

設(shè) 是一數(shù)域， 對(duì)于 ，如果存在 ， 使得 ， 則 可逆， 且 .

因?yàn)?可逆，所以.

2.2 利用伴隨矩陣求逆矩陣

命題2.2.1 設(shè) ，若 ，那么.

例2.2.1 設(shè) 求 的逆矩陣

2.3 利用分塊矩陣求逆矩陣

定義2.3.1一般的說(shuō)，設(shè) 是一個(gè) 矩陣， 是一個(gè) 矩陣.把 和 如下的分塊，使 的列的分法和 的行的分法一致.

那么就有

其中， 這就是分塊矩陣的乘法.

2.3.2準(zhǔn)三角形矩陣求逆

初等變換還包括初等列變換，如果采用初等， 方法與初等行變換類(lèi)似， 設(shè) 階矩陣 可逆， 則 可以通過(guò)一系列初等列變換化為單位矩陣 ， 構(gòu)造一個(gè) 階矩陣，對(duì) 施以同樣的初等列變換， 當(dāng) 化為單位矩陣 時(shí)， 就化為 .

顯然， 初等列變換求可逆矩陣的逆與初等行變換求可逆矩陣的逆實(shí)質(zhì)上是一樣的， 其方法也類(lèi)似，所以我們重點(diǎn)介紹初等行變換的求法.

命題2.4.2 如果用有限次第三種行、列的初等變換可以將可逆矩陣 化為對(duì)角型矩陣 ，且用相應(yīng)的初等變換將單位矩陣 化成 ，那么

總的來(lái)說(shuō)，求解可逆矩陣的逆矩陣的方法為：

方法一：定義法，

方法二：伴隨矩陣法

方法三：分塊矩陣法，

方法四：初等變換法，

可以說(shuō)每一種方法都有其它獨(dú)特的解題角度和簡(jiǎn)便的解題技巧， 為解決不同類(lèi)型的逆矩陣求解問(wèn)題提供了更多的解題工具， 當(dāng)然還有其他的求逆矩陣方法，我們要根據(jù)不同形式，不同特點(diǎn)的逆矩陣用選擇不同的方法.

參考文獻(xiàn)：

[1] 張禾瑞，郝鈵新：高等代數(shù)，高等教育出版社，第四版.

[2] 杜漢玲：求逆矩陣的方法與解析，高等函授學(xué)報(bào)（自然科學(xué) 版），第17卷第4期.

[3] 刁光成，張曉彥：關(guān)于求逆矩陣方法的進(jìn)一步探究，牡丹江教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2010年第2期.