淺談微積分教學中的“問題情境”

摘 要：本文將微積分概念融入到具體而生動的“問題情境”中，在問題情境化教學中幫助學生認知微積分實質，構建微積分知識體系，體會其數學思想，進而幫助學生形成數學應用意識，培養學生主動探究的精神，最終幫助學生形成良好的情感態度和價值觀。

關鍵詞：微積分 問題情境 構建 教學

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）04（b）-0145-01

所謂的問題情境化教學，主要是以提出問題，分析問題，解決問題為線索，并把這一線索始終貫穿于整個教學過程。問題情境化教學的意義就在于通過從學生感興趣的問題入手，激發學生積極思考，使學生根據已有的知識和經驗，形成自己對問題的認識和理解，并從中獲得新知識，培養解決問題的能力。

下面我們主要從四個“問題情境”談一下微積分的概念教學。

1 “極限”教學中的“問題情境”

我們知道極限思想貫穿整個微積分的始終，是微積分的基本思想。因此，幫助學生構建極限思想是微積分教學首要的基本任務。

學生對知識的接受是一個獲得經驗、思維投入的過程，是一個積極建構的過程，讓學生經歷和探索“問題情境”，可以促進知識的理解，積累數學活動的經驗[1]。從歷史上看，我國古代的截丈問題“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”，還有劉徽的割圓術“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”，這些具體而生動的“問題情境”都包含了極限的重要思想，由于歷史原因，我們沒有進一步研究探索，因而錯失了發現微積分的良機。教師既要結合歷史又要構造生動的“問題情境”將極限思想映射其中，學生們就會在生動的問題情境中體會極限思想。在結合情境體會極限思想時，我們會不約而同地與古代數學家再現，并構建極限概念。反過來，學生們也會按照極限概念去尋找生活中的具體情境，將極限思想投射到具體情境中去，舉一反三，使學生們牢牢把握極限思想。

通過“問題情境”構建起來的數學概念，不僅可以使學生生動自然地完成知識目標，培養數學應用意識，而且還可以引起他們的學習興趣，培養他們主動探索的精神，進而完成課程的情感目標。下面我們再以“微分”教學中的“問題情境”來感知數學情境化教學的魅力。

2 “微分”教學中的“問題情境”

一元函數微積分主要包括一元函數微分學和一元函數積分學。一元函數微分學主要寄寓于物理中變速直線運動的瞬時速度和幾何中平面曲線的切線斜率這兩個問題情境。

還原經典情境，讓學生親歷知識形成、發展和重組過程，可以更好地培養學生主動探究知識的意識。我們知道，在學習導數概念時，當教師設置好引人入勝的變速直線運動學習情境時，學生就可以通過測量或者電腦模擬來觀察平均速度逼近瞬時速度的過程，也就是路程函數的平均變化率趨近瞬時變化率的過程。教師的關鍵在于，通過引導，讓學生自主地發現并建構這一極限過程。通過這個“經典情境”，學生不僅可以自主地建構導數概念的數學模型，還可以不由自主的體會極限的思想方法。從而促進學生形成運動變化的觀點，為進一步促成這一哲學觀點，教師又可以通過數學史上切線定義的歷史演變，引入平面曲線的切線斜率這一問題情境，幫助學生建構導數概念的數學模型。比較這兩個問題情境的共性，抽象出導數概念，可以培養學生概括抽象問題的能力。如果關注這兩個問題情境中的具體函數，就要解決導數的計算問題，幫助學生建構基本導數公式和導數的運算法則就成為自然的事情了。如果關注問題情境中函數增量的近似計算，引入微分概念的數學模型就很自然了。對一元函數來說，可微和可導是等價的，一元函數微分學的知識框架就基本建構起來了。

通過數學史上的“問題情境”，還原數學概念的形成過程，既可以形象地幫助學生構建知識體系，又可以培養學生的數學發現意識，還可以促進學生世界觀、價值觀的形成。“積分”教學中的“問題情境”會進一步體現這一觀點。

3 “積分”教學中的“問題情境”

一元函數積分學是一元函數微積分的另一個重要組成部分。一元函數積分學主要寄寓于平面圖形的面積和變速直線運動的路程這兩個問題情境。

眾所周知，不定積分實際上是導數和微分的逆運算，因此，一元函數積分學的主要內容是定積分及其應用。定積分概念產生的問題情境是求不規則平面圖形的面積和變速直線運動的路程。教師可以根據實際情況將這兩個問題情境裝飾得生動有趣，盡可能地吸引全體學生參與進來，并使他們積極主動去探求平面圖形的面積和變速直線運動的路程。通過把不規則平面圖形劃分為曲邊梯形，進而把求不規則的平面圖形的面積劃歸為求相對較規則的曲邊梯形的面積。通過求曲邊梯形面積的過程：分割、近似代替、求和、取極限，使學生形成化整為零，以均勻近似代替非均勻，積零為整取極限的積分思想，實際上這也是求連續非均勻變化總量的通用方法。類似的還有變速直線運動的路程這個問題情境。通過以上兩個問題情境，幫助學生建構定積分的概念，定積分實際上是一種無限求和[2]。如果關注問題情境中的具體函數，就要解決定積分的計算問題。通過建構牛頓—萊布尼茲公式解決定積分的計算以后，進一步關注這兩個問題情境，將用定積分求連續非均勻變化總量的方法提煉出來，形成微元法以達到拓展和應用的目的。這樣，一元函數積分學的知識框架也基本建構起來。

在微積分的教學實施中，應盡可能地展現微積分的形成與應用過程，即以“問題情境—— 建立模型—— 解釋、應用與拓展”的模式展開所要學習的數學主題，使學生在了解微積分知識來龍去脈的基礎上，理解并掌握相應的學習內容，進而形成對微積分的數學應用意識。

4 “微積分基本公式”中的“問題情境”

一元函數微分學和積分學都涉及到“變速直線運動”這個問題情境，“變速直線運動”是否可以將微分和積分鏈接在一起呢？

一元函數的導數與微分主要是解決連續非均勻變化過程中的瞬時變化率問題和部分增量的近似計算問題，而定積分是解決連續非均勻變化過程中的總量問題。也就是說，微分與積分都與連續非均勻變化過程有關。而變速直線運動是典型的連續非均勻變化，在變速直線運動中，我們通過微分學的知識知道，路程函數的導數是速度函數。如果考察變速直線運動在某一時間段的路程，它可以用速度函數在這個時間段上的定積分來計算，也可以用路程函數在這個時間段上的增量來表示，它們是同一個路程，應該相等。這就是牛頓—萊布尼茲公式，它把微分學和積分學聯系在一起，因此也稱為微積分基本公式。通過變速直線運動這個問題情境，就可以把微分和積分聯系起來，微分和積分的關系也隨之在學生的知識體系中建構起來。

綜上所述，我們從四個方面的“問題情境”探討了微積分的概念教學，通過這些情境化教學，我們有助于學生更好地掌握微積分的基本知識和技能，有助于培養學生主動探究的意識，有助于增強學生對微積分的數學應用意識，有助于學生形成良好的情感態度。

參考文獻

[1]顧繼玲.關注過程的數學教學[J].課程·教材·教法，2010（1）：70-74.

[2]劉書田.高等數學[M].北京：北京大學出版社，2004：147.