數學分析中求極限的幾種重要方法

摘 要：極限是數學分析的重要內容，是高等數學的理論基礎和研究工具，學習極限相關理論對學習數學分析和掌握高等數學眾多理論有著極其關鍵的作用。由于極限的計算題目類型多變，而極限的求取方法也種類繁多，因此，針對不同問題找到正確且最簡潔的方法意義重大。本文通過總結歸納數學分析中求極限的幾種重要方法，并且通過例子進行具體的說明，為高等數學初學者提供了一定的指導和幫助。

關鍵詞：數學分析 極限 高等數學

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）04（b）-0022-02

極限是高等數學中數學分析部分的重要基礎，數學分析中的許多重要概念如連續、導數、微分、積分和級數收斂等均要通過極限概念來描述。在數學分析與微積分學中，極限的概念占有主要的地位并以各種形式出現而貫穿于數學分析的全部內容，因此，掌握好極限的求解方法是學習數學分析和微積分的關鍵環節。數學分析中求極限的方法繁多，不拘一格，但并不集中。本文在綜合了大量文獻和資料的基礎上，以數學分析中的理論為基礎，參考已有的方法和概念，通過典型例題進行歸納和總結，進行了簡單的歸類，從利用定義求極限、利用法則求極限、利用公式求極限、利用性質求極限以及其他方法幾個方面著手，具體介紹了包括四則運算法、洛必則法則法等幾種重要的求極限方法。希望在求極限方法的正確和靈活運用上，對讀者有所助益。

1 利用定義求極限

極限的概念可細分為函數的極限和數列的極限。

2 利用法則求極限

2.1 四則運算法則法

2.2 兩個準則法

本文簡單介紹兩個準則，分別為夾逼準則和單調有界準則，常用于數列極限的求解。

（2）單調有界準則：單調有界數列必有極限，且極限唯一。

利用單調有界準則求極限過程中，首先需要證明數列的單調性和有界性，然后要證明數列極限的存在，最后根據數列的通項遞推公式以及極限的唯一性來求極限。

2.3 洛比達法則法

3 利用公式求極限

3.1 兩個重要極限公式法

（1）極限及其變換，常用于包含三角函數的“”型未定式。

利用這兩個重要極限公式來求極限時要仔細觀察函數形式是否符合。

3.2 泰勒公式法

泰勒公式法是指在求極限時，利用泰勒公式將函數進行展開后再通過一般求極限的方法進行計算的方法。

泰勒公式法對一些比較復雜的求極限過程可以起到簡化作用。

4 利用性質求極限

4.1 無窮小量性質法

利用下列幾點無窮小量的性質可解決相關的極限問題。

性質1：有限無窮小量的代數和為無窮小。

性質2：無窮小量與有界函數的乘積為無窮小。

性質3：有限無窮小量的乘積為無窮小。

4.2 函數連續性法

函數的連續性：

5 其他方法

5.1 中值定理法

中值定理法包括利用微分或積分中值定理求極限，通過微分或積分中值定理將函數進行變換，再求極限。

5.2 定積分法

則可知定積分可化為和式極限的形式，同樣，在求和式極限時，可轉為定積分的形式來求解。具體步驟：

（1）首先選擇恰當的可積函數f（x）。

（2）然后將所求和式極限表示成為f（x）在某區間[a，b]上的等分的積分和式的極限。

（3）最后利用求f（x）在區間[a，b]上的定積分就可得到和式的極限。

6 結語

數學分析中求極限的方法眾多，但每種方法都局限性，在使用時一定要注意其使用前提，只有滿足要求，各種方法才能被正確應用。本文主要歸納了數學分析中求極限的幾種重要的方法，只是眾多方法的一小部分，不全面之處還望感興趣的讀者繼續探索和研究。在求極限的過程最重要的就是在綜合運用各種方法的過程，真正理解其本質及需滿足的條件，掌握各方法間的內在聯系，才能靈活運用。

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