關于可導與連續的幾個結論

摘 要：結合實例，深入研究可導與連續的關系，并得到了幾個有用的結論。

關鍵詞：可導 連續 不可導 不連續

中圖分類號：O172.1 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）04（a）-0070-02

可導與連續是微積分中兩個重要的概念，大多現有教材中，對可導與連續的關系都只是一帶而過，并沒有深層地去理解和思考，這很容易使學生判斷函數的可導性與連續性時產生混亂，為了更好地幫助學生理解可導與連續，本文深入討論了可導與連續的關系，并給出了幾個有用的結論。

定理1：如果函數在點處可導，則它在點處連續。

證明參看文獻[1]。

根據定理1，很容易得到下面的結論。

結論1：若與都存在，則函數在點處連續。

證明：因為存在，于是有

，

即：函數在點處左連續，

同理，由存在，可推知函數在點處右連續，

因此，函數在點處連續。

對于定理1來說，其逆命題不成立。

結論2：函數在點處連續，但在點處不一定可導。

例1：證明函數在處連續，但不可導。

證明：，

，故函數在處連續。

而，

所以函數在處不可導。

1872年，著名數學家Karl Weierstrass利用函數項級數第一個構造出了一個處處連續而處處不可導的函數：

，，。

1930年，Van der Waerden給出的例子是：

。

在數學分析課程中，這是兩個非常著名的處處連續但處處不可導的函數，參見文獻[4]。

在連續的基礎上，適當強化結論2的條件，能夠得到如下結果。

例2：若函數在點處連續，且，而函數在點處可導，則函數在點處也可導。

證明：因為函數在點處連續，所以有，

又因為函數在點處可導，即存在，可設：

，

于是有：

，

即：函數在點處也可導。

例3：若函數在點處連續，則函數在點處可導。

證明：已知函數在點處連續，即，于是有：

，

即：函數在點處可導。

將例3推廣：

若函數在點處連續，則函數：

在點處可導。

證明：時，見例3，

時，

，

故函數在點處可導。

例4：若函數在點處連續，則函數在點處可導。

證明：，

，

故函數在點處可導。

推廣：若函數在點處連續，則函數在點處可導。

證明可參看例3、例4，這里不再贅述。

顯然，定理1的否命題不成立。

結論3：若函數在點處不可導，那么函數在點處不一定連續。

例5：證明函數在點處不可導，但在點連續。

證明：，

，

，故函數在點處不可導。

而，故函數在點處連續。

例6：設函數，判斷其在處的連續性和可導性。

解：，故函數在處不可導。

，，

故函數在處不連續。

由于原命題與逆否命題同真，所以定理1的逆否命題成立。

結論4：若函數在點處不連續，則函數在點處不可導。

證明：假設函數在點處可導，根據定理1可推知函數在點處連續，這與已知條件矛盾，假設不成立，因此，當函數在點處不連續時，函數在點處必不可導。

例7：討論函數在點處的連續性和可導性。

解：，，

因為 ，

所以函數在點處不連續，由此推知函數在處也不可導。

結論5：若函數在某個區間上可導，則其導函數在該區間上不一定連續。

例8：考察函數，在點處的導數

，

所以函數在點處可導。

而當時，，

因為不存在，所以在點處不連續。

例9：考察函數，顯然

，

因為，

所以，即在點處連續。

參考文獻

[1]吳贛昌.高等數學（理工類）（上冊）[M].3版.北京：中國人民大學出版社，2009.

[2]復旦大學數學系.數學分析[M].上海：上海科技出版社，1978.

[3]同濟大學應用數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2002.

[4]陳紀修，邱維元.數學分析課程中的一個反例[J].高等數學研究，2006，9（1）：2-5.