特殊平行四邊形的判定思路

中圖分類號：G632.0 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）25-148-01

特殊平行四邊形的判定方法多種多樣，很多同學雖然對特殊平行四邊形的判定方法熟記在心，但是在具體應用時卻感到思路混亂，束手無策，現介紹兩種證明思路，供同學們學習參考，旨在拋磚，盼能引玉。

思路一：直接法

直接法就是從任意四邊形出發，根據所給出的條件能直接地判定該四邊形是平行四邊形；

思路二：過渡法

過渡法就是當條件不能直接判定該四邊形是某特殊的平行四邊形時，常先證明該四邊形是平行四邊形，然后再利用平行四邊形與各種特殊平行四邊形之間的關系，步步為營，逐步推理，從而得出正確的結論。

典禮分析：

如圖1，在△ABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，垂足為E、F，求證：四邊形BEDF是正方形。

分析：本題可采用過渡法，且方法較多，如（1）先證明四邊形BEDF是平行四邊形，又已知∠ABC=90°，再證明DE=DF；（2）先證明四邊形BEDF為矩形，再證明DE=DF；（3）先證明四邊形BEDF為菱形，再證明有一個角為90°，下面以方法（1）為例證明。

證明：因為∠ABC=90°，DE⊥BC，

所以DE∥AB，同理DF∥BC，

所以四邊形BEDF是平行四邊形，

因為BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，

所以DE=DF，又因為∠ABC=90°，

四邊形BEDF是正方形。

已知：如圖2在△ABC中，AB=AC， AD⊥BC，垂足為D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E，

（1）求證：四邊形ADCE為矩形；

（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是正方形？并給出證明。

分析：

（1）由題意知四邊形ADCE有兩個直角，只需再證明有一個角度是直角，即可根據有三個角是直角的四邊形是矩形直接判定；

（2）是一道執果索因的探索題，要使四邊形ADCE是正方形，則矩形ADCE的一組鄰邊AD=DC，從而得∠BAC=90°或AD=1/2 BC時，四邊形ADCE是正方形。

證明：（1）在△ABC中，AB=AC， AD⊥BC，

所以∠BAD=∠DAC，

因為AB是△ABC外角∠CAM的平分線，

所以∠MAE=∠CAE，

所以∠DAE=∠DAC+∠CAE= 1/2×180°=90°

又因為AD⊥BC， CE⊥AN，

所以∠ADC=∠CEA=90°，

所以四邊形ADCE為矩形。

（2）答案不唯一，如當∠BAC=90°時，四邊形ADCE為正方形。

理由：因為∠BAC=90°，AB=AC， AD⊥BC.

所以∠ACD=∠DAC=45°，

所以DC=AD，由（1）四邊形ADCE為矩形，

所以四邊形ADCE為正方形。