淺談高中數(shù)學柯西不等式及應用

摘 要：柯西不等式是一個非常重要的不等式，結(jié)構(gòu)對稱和諧，具有較強的應用性。本文就高中數(shù)學方面，給出柯西不等式在證明恒等式、不等式、求最值、解三角與幾何，解析幾何等方面的一些應用。

關(guān)鍵詞：柯西不等式；應用；高中數(shù)學

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）25-137-02

在自然界中，不等量關(guān)系是普遍存在的，是最基本的數(shù)學關(guān)系，也是數(shù)學研究的重要內(nèi)容，不等式在數(shù)學研究和數(shù)學應用中起著重要作用。柯西不等式是由19世紀數(shù)學家（Cauchy）在研究數(shù)學分析中的“留數(shù)”問題時發(fā)現(xiàn)的，柯西不等式出現(xiàn)中學課本中，是中學生解決一系列疑難問題的法寶。為讓學生對柯西不等式有更好的認識、了解，本文從特殊到一般的介紹柯西不等式，對柯西不等式的一般形式做證明，再給出柯西不等式在中學數(shù)學中的應用的一些典型案例。

柯西不等式——初等中學的形式

一、二維形式的柯西不等式

1、二維形式的柯西不等式

若 都是實數(shù)，則 ，當且僅當 時，等號成立。

2、柯西不等式的向量形式

設 是兩個向量，則 ，當且僅當 是零向量時，或存在實數(shù) ，使 時，等號成立。

3、一般形式的柯西不等式

設 都是實數(shù)，則 ——（1）

當且僅當 或存在實數(shù) ，使得 時，等號成立。

二、柯西不等式的應用

1、利用用柯西不等式證明恒等式

用柯西不等式取等號的條件或者兩邊夾逼的方法證明某些恒等式。

例1、已知 ，求證： 。

證明：由柯西不等式

當且僅當 時，等號成立。即 ，得 。

2、利用柯西不等式證明一些不等式

觀察欲證不等式的特征，結(jié)合已知條件，對照柯西不等式的標準形式，構(gòu)造柯西不等式的兩組數(shù)，用柯西不等式來證明不等式，往往可以使復雜問題簡單化。

例2、已知 ，且 ，求證

證明：因為

，

利用柯西不等式證明時，關(guān)鍵是構(gòu)造出柯西不等式的兩個適當數(shù)組，常用的技巧是“1”和常數(shù)的變化轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化化歸思想。

3、利用柯西不等式求某些函數(shù)的最值

例3、已知 ，求 的最小值。

解：

由柯西不等式： ，所以 ，

當且僅當 ，即 時，等號成立，所以 。

例4、求函數(shù) ， 的最大值。

解：因為 ，所以 。由柯西不等式得：

，當且僅當 時，取等號。

4、利用柯西不等式解某些方程

不等式中的等號成立的時候，不等式就成了方程，由此可以利用柯西不等式取等號的充分必要條件解方程。

求方程 的解。

解：方程可變形為： ，當且僅當 時，取等號，解得 。

5、柯西不等式在解析幾何方面的應用

例6、直線 與橢圓 相切，求切點坐標 。

解：因為 所以，由柯西不等式得：

。

當且僅當 即 ，代入 ，解得 ，所以 。

6、利用柯西不等式解三角和幾何問題

例7、在半徑為 的圓內(nèi)，求周長最大的內(nèi)接長方形。

解析：假設出變量表示長方形的周長，得出目標函數(shù)，在利用柯西不等式求解。

解：設內(nèi)接長方形 的長 、寬為 ，于是長方形 的周長 ，由柯西不等式得：

。當且僅當 ，即 時，取等號。此時寬為 即內(nèi)接長方形 為正方形時，周長最大為 。

7、利用柯西不等式求參數(shù)的取值范圍

例8、已知正數(shù) 滿足 ，且不等式 恒成立，求 的取值范圍。

解析：利用柯西不等式求出最值，也即求出 的取值范圍。

解：因為

，所以 的取值范圍 。

柯西不等式在中學階段，雖然只是選講內(nèi)容，但在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，引起了教師教學的重視。柯西不等式不僅應用于證明代數(shù)不等式，它在實數(shù)大小比較、解方程、確定參數(shù)的取值范圍、求最值及幾何不等式的證明等方面都有廣泛的應用。

運用柯西不等式的過程中，要求我們要以敏銳的思維，細致的觀察，構(gòu)造出適合柯西不等式的兩組數(shù)，以便可以使用柯西不等式。這是學生拓寬知識，打開思維的鑰匙，是解決一系列問題的法寶。

參考文獻：

[1] 劉紹學.高中數(shù)學選修4—5.北京：人民教育出版社，2012.12.

[2] 薛金星.中學教材全解數(shù)學選修4—5.西安：陜西人民教育出版社.2010.4.

[3] 柯西不等式的證明與應用.百度文庫，2013.7.