淺談競賽數學的內容

摘 要：本文討論競賽數學的內容，競賽數學的內容包括代數、幾何、初等數論，組合初步。代數是中學數學的主體內容；幾何提供幾何直覺和邏輯推理方面仍有其不可替代的教育價值；初等數論能方便地提供從小學到大學的各層次競賽試題。

關鍵詞：競賽數學、代數、幾何、初等數論，組合初步

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）33-231-01

數學競賽的開展導致了競賽數學的誕生，競賽開始的那些年頭，其內容主要是中學教材中的代數方程、平面幾何、三角函數等，經過40多年的發展，已形成一個源于中學又高于中學的數學新層面，其思想方法日漸與現代數學的潮流合拍，對第1～45屆IMO試題的統計表明競賽數學正相對穩定在幾個重點內容上，可以歸結為四大支柱、三大熱點。

四大支柱是：代數、幾何、初等數論，組合初步（俗稱代數題、幾何題、算術題和智力題）。三大熱點是：組合幾何、組合數論、集合分析、我國的冬令營試題和國家隊選手選拔題，與國際發展趨勢是完全一致的，高、初中數學競賽大綱的內容，也以中學教材為依托而努力接軌國際潮流。

一、代數

代數是中學數學的主體內容，其在競賽中占據重要地位是理所當然的，已廣泛涉及恒等變形、方程、函數、多項式、不等式、數列、復數、函數方程、矩陣等方方面面，近年的主要特點是：

1、出現集中的趨勢。

統計表明，近幾十年來，難度較小的問題（如恒等變形、單一的解方程等）消失了，明顯超出中學范圍的問題（如矩陣等）也消失了，代數問題正在向不等式、數列、函數方程上集中，這表明IMO代數題的命題趨向是，既在努力避開有求解程式的內容、提高試題的難度，又在盡力避免超出中學生的知識范圍，而在思維的靈活性、創造性上做文章。

2、與數論、組合、幾何的交叉

代數知識在各個學科中都有基礎的作用，無論哪一門中學數學分支都少不了代數運算。IMO試題在避開常規代數題的同時，正在加強與各個學科的綜合，不等式不僅有大量的數列不等式、最優化背景的不等式，而且有越來越多的幾何不等式、數論不等式、組合不等工；方程知識也在數論問題、幾何問題或其他離散問題中屢屢出現。

二、幾何

歐幾里得幾何雖然古老，但在提供幾何直覺和邏輯推理方面仍有其不可替代的教育價值，因而歷來受到數學競賽的青睞，平面幾何證明已經屬于IMO的屆屆必考內容，少則1題，多則2-3題。我國高中聯賽加試（二試）和冬令營考試，也是年年必有平面幾何題。

IMO中的幾何問題，包括平面幾何與立體幾何，但以平面幾何為主。

IMO的平面幾何題數量較多、難度適中、方法多樣，可以分成兩個層次。

第一層次，是與中學教材結論比較緊密的常規幾何題，雖然也有軌跡與作圖，但主要是以全等法、相似法為基礎的證明題，重點是與圓有關的命題，因為圓的命題其知識容量大、變化余地大、綜合性也強，是編擬競賽題的優質素材。

第二層次，是比中學教材要求稍高的內容，如共點性、共線性、幾何不等式、幾何極值等。這些問題結構優美，解法靈活，常與幾何名題相聯系。

三、初等數論

初等數論也叫整數論，其研究對象是自然數。由于其形式簡單，意義明確，所用知識不多而又富于技巧性，因而歷來都是競賽的重點內容。

如果說代數、幾何離中學教材還比較近的話，那么初等數論則在中學教材未系統介紹、而中學生（特別是優秀中學生）又不是不能接受這樣一種思維發展區中，其在培養數感和發現數學才華方面有獨特的功能，正在與組合數學相融合而成為數學競賽的一個熱點題源。它還有一個優勢是，能方便地提供從小學到大學的各層次競賽試題。“奇偶分析法”也成了從小學到大學都使用的數學奧林匹克技巧。

四、組合初步

數學競賽中的組合數學不是一個嚴格的概念，它離中學教材最遠，通常指中學代數、幾何、算術（數論）之外的內容（俗稱雜題）。對中學生而言，這類問題的基本特點是不需要專門的數學用語就可以表述明白，解決起來也沒有固定的程式（非常規），常需精巧的構思，從內容上可以歸結為兩大類；組合計數問題，組合設計問題。

參考文獻：

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