淺談有限項級數(shù)求和的幾種方法

摘 要：有限項級數(shù)求和問題在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中廣泛地被應(yīng)用，占據(jù)著舉足輕重的作用。本文就此分別介紹了有限項級數(shù)求和的五種方法（公式法、分解法、待定系數(shù)法、裂項法、逐差法），讓學(xué)生可以通過本文而掌握有限項級數(shù)求和的幾種方法，從而取得事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞：級數(shù)；前n項和；通項；遞推

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）33-159-01

依照某種規(guī)律排列著的一列數(shù) ， ， …， 稱為數(shù)列，記為 若把這列數(shù)列的前 項用加號連接起來， + + …+ 它就稱為級數(shù)，記為 ，其中 稱為數(shù)列或級數(shù)的通項.

對于一個數(shù)列（級數(shù)），除了研究通項并進(jìn)而研究它的一些性質(zhì)外，還要研究計算前 項的和的方法.對于等差數(shù)列、等比數(shù)列，高中已經(jīng)學(xué)習(xí)了它們的求和公式，那么當(dāng)出現(xiàn)其它的數(shù)列（級數(shù)）該怎樣求出它的前 項之和呢？我們下面對有限項級數(shù)求和進(jìn)行討論.

一、公式法（直接求和法）

對于等差級數(shù)或等比級數(shù)求前 項的和，用已得到的公式：

等差級數(shù)： =

等比級數(shù)： =

例1 求和：（ + ）+（ + ）+…（ + ） （ 0， 1， 1）.

分析 上面各個括號內(nèi)均由兩項組成，其中各括號內(nèi)的前一項與后一項分別組成等比數(shù)列，分別求出這兩個等比數(shù)列的和就能得到所求式子的和.

解 當(dāng) 0， 1， 1時，

（ + ）+（ + ）+…（ + ）

=（ ）+（ + +… ）

= +

= + .

用公式法直接求和很簡單，但是當(dāng)我們遇到較復(fù)雜的級數(shù)求和怎么辦呢？

下面對其它級數(shù)求和進(jìn)行討論.

二、分解法（化歸法）

某些數(shù)列雖然不是等差數(shù)列或等比數(shù)列，但是可以通過適當(dāng)?shù)淖儞Q轉(zhuǎn)化等差數(shù)列或等比數(shù)列來求前 項和.

三、待定系數(shù)法

利用數(shù)列求和的基本定理，當(dāng)數(shù)列的通項 是項數(shù)的次函數(shù)時，該數(shù)列的前 項之和 是項數(shù) 的 次函數(shù).再利用待定系數(shù)法可以求出這類數(shù)列的前 項之和.

四、裂項法

如果一個級數(shù)的每一項都能化為兩項之差，其中前一項化得兩項之差的減數(shù)恰與后一項化得兩項之差的被減數(shù)相同，一減一加，中間項全部相消為零，那么這個數(shù)列前項 之和就是第一項的被減數(shù)與第末項的減數(shù)之差.

如 = - ，則級數(shù){ }的前 項和是1- .

有時，為了通過和差相消求和，先要對其進(jìn)行和差化積，如通項的分母有和差時，就應(yīng)這樣進(jìn)行.

五、逐差法

一個級數(shù)的結(jié)構(gòu)規(guī)律并不明顯時，可考慮用逐差法來求和.

對于數(shù)列 ： ， ， …， ，觀察其通項，由 組成的數(shù)列 叫做一階遞差數(shù)列，由 = 組成的數(shù)列 叫做二階遞差數(shù)列.依此類推，若到第 階遞推數(shù)列可以求出其前 項之和，那么就逐漸遞推求得 階遞推數(shù)列的和.依此，直到推出原數(shù)列的和，這種方法稱為逐差求和法.

綜上所述，我們可以看出：有限項級數(shù)求和的問題在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的運用不僅廣泛而且靈活.這種源于課本，基于教材的解題和方法值得介紹.通過研究這些方法在解題中的運用不僅可以讓我們更好地理解級數(shù)的知識，提高觀察，思考解決數(shù)學(xué)問題的能力，還可以培養(yǎng)我們的思維方法.當(dāng)然本文的論述在研究的深度和廣度上還不夠完善，還有待于在以后的學(xué)習(xí)中不斷的探索和研究.

參考文獻(xiàn)

[1] 吳啟貴，陳堯，劉瘦俠選編.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)文選—高中代數(shù).上海教育出版社，1989.

[2] 高中數(shù)學(xué)解題途徑.華東師范大學(xué)出版社，第一附中數(shù)學(xué)教研社，1986.