高等數學函數一致性連續性問題研究

摘 要：本文首先對函數的一致性和連續性進行了理論分析同時舉例應用，然后理論分析函數連續一致性的條件，和幾個函數一致性等價的命題。使得我們能夠全面理解和認識函數的一致性與連續性。

關鍵詞：一致性 高數 函數 連續性

中圖分類號：O1 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）09（b）-0052-01

1 高等數學分析中函數一致連續的概念的理解

函數的一致連續性體現了一個連續函數的變化速度有無“突變”。它要求函數連續性不僅僅只體現在區間上的每一點上，還要求在區間上所有點鄰近的函數有大致變化趨勢要均勻，這就是函數的一致連續。

定義1：（函數區間上連續）區間為上的函數，若對，對于每一點，都存在相應，只要，且，就有，則稱函數在區間上連續。

例1：考慮函數在區間上的連續性。

解：對，存在領域，使得時，有。對，取，該，就有。

定義2：（一致連續的定義）在區間上定義的函數，若對，存在，使得任意，，只要，就有，則區間上，一致連續。

一致連續概念與連續概念中的δ不同，可以通過具體的例子來說明。函數在區間上一致連續的概念，可以通過這樣的1個例子引出。這樣我們對于一致連續中δ的就有一種非常直觀的感受。這樣對δ的取法就相對的清楚，同樣的，我們也可以加快對一致連續的理解。

2 函數一致連續通過采利用函數一致連續的概念來證明

對，為了證明存在。為此，把這個式子不失真發大，同時要求在放大后的式子中，除了因子之外，其余部分中不含有和，然后使所得式子，從中解出。

例1：驗證函數在區間（0

證明因為

所以對于，取，使得對任何，，只要，就有。

3 函數連續一致性的條件

函數連續是函數一致連續的必要條件，但不是充分條件，是自然而然就得到的結論。為了使函數在區間上一致連續，那么連續函數在區間還應滿足什么條件？通過G·康托定理我們知道：閉區間上函數一致連續的充分必要條件，是在上是連續。因此，在閉區間連續的函數也一定一致連續，我們也可以在無界的區間和有界的開區間應用G·康托定理。在兩種情況下，區間連續性可以轉變為區間一致連續性：（1）區間有界但非閉，一致連續性的點可能被開的端點所破壞；（2）區間的兩個端點或者一個端點為無窮時，函數的一致連續性也可能被函數在無窮遠處所破壞。我們只要附加上一定的限制條件在一致連續性的開的端點或無窮遠點破壞點處，函數就可以一致連續了。

定理1：函數在內一致連續的充分必要條件是在連續，且與都存在。

證明：（必要性）若在內一致連續，則對，，，且時，有，此時對端點，當，，，滿足，時，就有，于是，由柯西準則知，存在，同理可知也存在，從而在連續，且與都存在。

（充分性）若在內連續，且與都存在，補充定義，，這樣在閉區間上連續，從而在內一致連續。

根據定理1容易得出以下結論：

推論1：函數在內一致連續在連續且存在。

推論2：函數在內一致連續在連續且存在。

定理2：若在內連續，且與都存在，則在上一致連續。

由定理2容易得到以下推論：

推論1：函數在內一致連續的充分條件是在內連續，且與都存在。

推論2：函數在內一致連續的充分條件是在內連續，且與都存在。

我們可以通過以上的定理及推論判斷函數一致連續性。

例：下列函數在指定的區間是否一致連續？

（1）。

解：顯然在內連續，且，，即與都存在。故在內一致連續。

（2）。

解：，，因此在內一致連續。

4 結語

本文從函數一致連續的概念出發，進行了實例驗證，同時詳細敘述了函數的一致性條件進行了證明。

參考文獻

[1]張月華.分段函數有關概念探析[J].牡丹江教育學院學報，2010（5）：22-24.

[2]陳佩樹.分段函數在分段點的求導[J].巢湖學院學報，2011（3）：14-16.