淺析泛函分析的基本概念

摘 要：在教科書中“泛函分析”具有高度抽象以及概括性的特性，是當前數學教學的基礎課程之一。雖然泛函分析具有很抽象的特性，這并不說明其是由抽象的數學構思組成。在泛函分析中，需要對相關的概念進行高度概括，這樣間接的導致了學者們丟棄了很多直觀的表達，而為了保障數學的嚴密性，造成了其概念的抽象性。及時如此其還在很多學科中有著廣泛的應用，例如微、積分方程等。由此，對“泛函分析”的基本概念進行了解和掌握時非常有必要的。本文就算子及其收斂性以及共軛與相伴算子等泛函分析中的幾個基本的概念展開分析和探討，以期能提升讀者對泛函分析概念的認知。

關鍵詞：泛函分析 算子 共軛算子 相伴算子。

中圖分類號：G420 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）09（b）-0041-01

1 空間與算子

在空間y中，以距離的定義為起始。假定輸入值x∈X，就能夠按照既定的模型（算子T）來計算出輸出y=Tx，進一步的通過實際的測量就能夠得到真實的輸出通過實測得到的真實輸出y*，這個過程中就涉及到一個關鍵點，即怎樣明確的得到預測的偏差以及對模型結論的好壞的評價。

當距離設定好后，就要面對其所在的空間是否滿足所需的要求。在實空間中對一個筆的尺寸進行測量，其測量結果可以精確至無窮數。而在數學的理念中，測試的精度是程“無限”的概念。這就意味著在實際的過程中需要采用無理數進行表示該空間中的極限狀況。所以我們對筆尺寸的測量既有測量結果無限符合其實際尺寸，又有無法測量其真實尺寸。從認知論出發，這是一個錯誤的結果，但在空間中，從元素的立場看其是非常科學的。在實際的應用中還需要對算子的有界和連續進行掌握。算子的有界性是指其所在的空間模型對初始的偏差和錯誤數據做無限處理；算子的連續性是指測量數據近似于實際值時，模型的輸出數據也與實際值想接近。

在算子中，需要對于泛函分析中的“逆算子定理”需要進行了解和掌握。“逆算子定理”時指在Banach空間X、Y上的有界的線性算子T∈L，而其逆算子T-1∈L同樣屬于有界的線性算子。在“逆算子定理”中， Banach空間中有界線性算子T若為雙射，就一定會有相應的逆算子T-1，而且算子的連續性具有一致性。逆算子T-1的連續性在實際的應用中非常的關鍵，當T-1不是連續的算子時，依據設定的y值沒有辦法找出這種錯誤的因素x。甚至可以將其視為連個不一樣的輸入值x1以及x2都會產生基本上一致的輸出值y1和y2，這就會對最終的判斷造成誤導或影響。

2 算子的收斂性

在算子收斂性的探析中，把分析的目標置于準確模型T*以及經驗模型T中。那在這個過程中，對于經驗模型與準確模型間的差距具體的差異性，通常是以算子的收斂性進行分析和理解的。在準確模型T*不確定的情況下，利用經驗模型T把輸入值x計算Tx，通過對比就可以得出那個更接近與真實T*x，也就可以達到評價那個模型好壞的目的。

在強收斂算子的檢驗中有一個關鍵的設定，即方法有重要的前提，即Tx和T*x兩者間可以進行對比分析。在真實的世界中，有很多的事物人們還無法認知，以對固定器具中的氮氣加熱為例。我們知道氮氣有很多的分子，我們無法對任何一個氮氣分子進行了解，但將其轉化為宏觀表達后就可以以全部的氣體分子為一個整體進行其平均分子運動狀態的研究。在研究的過程中，不同的壓強以及溫度是算子中的弱收斂特性。弱收斂就是指將抽象的以及不能直接認知的事物通過轉化變為可準確測定并可以進行對比的數據。

在算子的強收斂以及弱收斂的檢驗模型中，都是以準確模型中T*不確定的情況下進行的。這是由于準確模型T*確定的情況下，對于經驗模型T的檢驗直接用T*進行即可，其對于經驗數據沒有任何的依附性。

3 共軛算子與相伴算子

在“泛函分析”中，還有兩個非常重要的基本概念，他們分別是Banach空間的共軛算子，以及Hilbert空間中相伴算子。這兩個基本的概念在其定義上很抽象，基本上無法對其進行直觀的理解。

首先我們結合企業的生產過程對Banach空間的共軛算子為例進行分析和闡述。假定企業所采用的原料有n種，而生產的產品有m種，則該企業的原料的使用量對應的是x，而生產的產品對應的是y，于是該企業的生產就能夠用y=Tx來表述。于是T又同時是n×m的矩陣，其代表了企業生產過程中原料投入以及產品產出間的聯系。對于企業來說，獲得利益是其最終的目的，所以在原料的處理中，就有以原料制備產品進而進行出售以及倒賣原料的兩種方法可以獲得利潤。在企業制造產品并進行出售而獲利的整個過程，可以視為共軛算子概念中的f（Tx）。f的定義是很確定的，即m種產品的銷售價格，在數學領域中屬于m維向量。而直接倒賣原材料也可以獲得利潤，計為f*（x）。當f（Tx）=f*（x）時，也就是說制造產品進行銷售和倒賣原料所獲得利潤相等。其可作為沒有新的企業進入到該領域的生產中，也不不存在原企業退出該生產領域的一種平衡。f（Tx）f*（x）時，就會出現企業進入產品的制造領域，這樣就會造成最終產品價格的下降以及原料價格的上升，最終也會使得f（Tx）和f*（x）相互靠近。這樣就會對市場經濟中原料價格以及產品價格間相互影響和相互制約的關系。當市場的調價機制發揮其功能時就會使得f（Tx）=f*（x）。

4 結語

綜上所述，相信通過“泛函分析”基本概念的介紹，可以讓讀者對其有了最直接的了解，也使其本身固有的抽象性有了明確的意義。在“泛函分析”基本概念的分析中，有些內容沒有了嚴謹的表達方式，但其卻有著促進概念理解的優點。在學習中，學生應以正確的態度去對待和學習“泛函分析”。雖然泛函分析具有很抽象的特性，這并不說明其是由抽象的數學構思組成。在泛函分析中，需要對相關的概念進行高度概括，這樣間接的導致了學者們丟棄了很多直觀的表達，而為了保障數學的嚴密性，造成了其概念的抽象性。所以，在泛函分析的學習中，需要將這種抽象的概念放到現實生活中進行認知。同時，“泛函分析”在教學中是數學課程中的基礎之一，其自身有著很多優勢。這就要求我們對“泛函分析”從內心中去體會，從生活中去認知。唯有如此，才能掌握“泛函分析”中基本概念。

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