從極限的概念談定性向定量描述的數學轉化思想

摘 要：極限是微積分中重要概念，也是研究函數各種性質的重要工具。本文從最簡單的數列極限的定性定義入手，分析了此定義的缺點，進行分析，最終導出了極限的定量定義，解決了這一教學難點，進而將這種分析方法推廣到函數的極限。

關鍵詞：極限 定性定義 定量定義

中圖分類號：O1 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）09（b）-0018-01

極限是微積分中要學習的第一個重要概念，同時也是一個非常難以理解的概念。同學們往往只接觸過數列極限的定性定義，到了大學接觸到的是極限的定量定義很不適應，也不理解。因此，本文先從定性定義出發，逐漸地導出極限的定量定義，使學生即能較容易的理解概念，又能讓他們體會到數學中定量思想建立的整個過程，提高其數學素養。

1 數列極限的定性定義及缺點

下面寫出數列極限的定性定義。

定義1：設為一數列，為常數，若當無限增大時，無限接近于，則稱常數為數列的極限，同時稱數列收斂于，記為，或，否則，稱數列發散。

由此定義可看出，此概念的核心為“若當無限增大時，無限接近于”。但是，很明顯，“無限增大”，“無限接近于”都是模糊不清的描述，只是對數列趨向方式的一種性質上的描述。

2 數列極限的定量定義的導出

有了上述分析，就提出了下一步工作的目標為：用定量的描述來解釋“若當無限增大時，無限接近于”，即要給出數列極限的定量定義，這也是數學工作者要研究的一個重要方面。

我們先來看“無限接近于”。目的是用量化的數學語言（即等式或不等式之類的形式）去描述它。經過分析我們發現，這句話可以變成“與的距離無限的小”，即“無限的小”。而如何描述某個數“無限的小”呢？一般數學上這樣來解決這個問題：任意給一個整數（一般說來可以任意小），。這樣，對于“無限接近于”，我們總結出的量化的數學語言為：。

再來看“無限增大”。這句話的轉化要難一些。即我們的目標是要將用數學語言來描述它。由教材上的實例分析我們發現有如下規律：

（1）當越來越小時，滿足的越來越大。

（2）當任意的小時，任意的大，即。

（3）當取定某個數值時，的范圍也就隨之確定。

基于以上三點，我們將“無限增大”描述為“”。

這樣，“若當無限增大時，無限接近于”這樣的一句話我們就可以翻譯成量化的數學語言了，即當時，有成立。

下面只需將定義1中的“若當無限增大時，無限接近于”改成上述描述（其它部分不變）就可以得到數列極限的定量定義如下：

定義2：設為一數列，為常數，若對任意的（不論多么小），總存在正整數，使得當時，恒成立，則稱常數為數列的極限，同時稱數列收斂于，記為，或，否則，稱數列發散。

在此定義中，較難理解的一點是的出現。要注意理解要想得到量化的描述，僅對進行討論分析是不夠的，必須要構造。還需指出，若用極限定義證明極限，關鍵是找到相應的。

3 函數極限的定量定義的分析

有了上述對數列極限定量定義的導出，可以類似的討論分析函數極限的定量定義。

先給出當時，的定性定義。

定義3：設函數在點的附近有定義，如果存在常數，當無限接近于時，無限接近于，則稱常數為函數當時的極限，記為或（）。

顯然，此定義中的“當無限接近于時，無限接近于”需要進行改進。

同前文進行類似討論可得，“無限接近于”可寫成“”。

對于“無限接近于”，通過分析我們發現有如下規律：

（1）當越來越小時，滿足的越來越接近于，即只有在的某個小去心鄰域（半徑設為）內的才滿足不等式；

（2）當任意的小時，“無限接近”于，即。

（3）當取定某個數值時，也就隨之確定下來，即只要滿足在去心鄰域內，就可以使得小于給定的。

經過上述討論，可以給出“無限接近于”的定量描述為：

“”。

綜上所述，我們可以將定義3進行修改，得到量化定義如下：

定義4：設函數在點的附近有定義，如果存在常數，對于任意給定的正數（不論多么小），總存在正整數，使得當時，恒成立，則稱常數為函數當時的極限，記為或（）。

4 結語

本文由數列、函數極限的定性定義出發，分析了定性定義的缺點，采用數學中常用的量化的思想，逐步分析，仔細論證，最后將上述定義轉化成了教材中的精確定義，在教學中使用這種方法過渡，不但可以使學生更容易的接受極限的量化定義，更重要的是能夠讓學生體會了從定性到定量的轉化方法，對于提高學生數學素養具有重要意義。

參考文獻

[1]谷銀山，張玉芬.微積分學教程[M].北京：北京航空航天大學出版社，2011.

[2]雷會榮.淺談數學思想在極限教學中的滲透[J].教育探索，2011，246（12）：58-59.