拉格朗日插值法在高中數學中的應用

摘 要：在數值分析中，拉格朗日插值法是以法國18世紀數學家約瑟夫·拉格朗日命名的一種插值方法。對實踐中的某個物理量進行觀測，在若干個不同的地方得到相應的觀測值，拉格朗日插值法可以找到一個簡單函數，其恰好在各個觀測的點取到觀測到的值，這個函數可以是代數多項式，三角多項式等。本文主要討論拉個朗日插值多項式在高中數學中的應用。

關鍵詞：拉格朗日插值法 高中數學 應用

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）09（c）-0103-01

首先，我們給出插值函數的定義：

本文只討論多項式插值，即求一次數不超過n的多項式：

本文主要討論插值多項式在高中數學中的應用，所以下面我們看一下如何得到插值多項式。

1 插值多項式

定義2：對某個多項式函數，已知有給定的k+1個取值點：其中對應著自變量的位置，而對應著函數在這個位置的取值。

假設任意兩個不同的都互不相同，那么應用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多項式為：

其中每個為拉格朗日基本多項式（或稱插值基函數），其表達式為：

拉格朗日基本多項式的特點是在上取值為1，在其它的點上取值為0。

2 應用

本文給出插值多項式的目的是省去我們高中數學中遇到的一些繁瑣的求解過程，例如求函數的解析式，復雜的因式分解以及一些特殊的證明題。

分析：本題的一般方法不多說，如應用上述的插值多項式公式帶入也可直接求得。

解：

在奧林匹克數學中，會遇到復雜的因式分解的題。

例2：因式分解：

分析：通常我們會用拆項合并來進行因式分解，但本題顯然很難求得。觀察其與插值多項式接近，所以嘗試用多項式的方法。

分析：顯然本題要用反證法證明，通常我們假設都大于，然后列出不等式組討論，得到矛盾。但本題也可用插值多項式證明。

以上給出了三個在高中數學中常見的應用插值多項式解的題，事實上，還有很多類型題是可以利用插值多項式來解決的，在這里就不一一列舉了。

參考文獻

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