學習排列組合幾點建議

摘 要：排列組合是高中數學教學的一個難點，其思考方法獨特靈活，必須具備較好的抽象能力和邏輯思維能力。思考方法不同，解題思路也不一樣，因此，一道題目經常存在多種解題方法，也極容易出現“重復”或“遺漏”的錯誤。排列組合是高中的一個重點，也是一個難點。

關鍵詞：基礎 方法和技巧 能力

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）09（c）-0085-01

要學好本章除了學好基礎知識和掌握一些解題方法和技巧外，還要通過不斷的積累、思考，能做到舉一反三，觸類旁通，使思維能力和推理能力得到提高；才能真正的學好排列組合。

在基礎知識方面，“分類計數原理”和“分步計數原理”是本章主線。要根據我們完成某件事時采取的方式來區分是分類還是分步，分類相加，分步相乘。排列與組合定義相近，它們的區別在于是否與順序有關。只取不排（無序）是組合問題，先取后排（有序）是排列問題。同時要掌握排列和組合數的計算。這是本章的重點，但不是難點。

本章的難點在解題方法和解題技巧上，下面介紹幾種常用的解題方法和技巧。

1 特殊元素優先考慮，特殊位置優先安排法

例1：用0，1，2，3，4，5，五個數字，能組成多少個沒有重復數字的四位偶數？

分析：由于該四位數為偶數，故末尾數字必為偶數，又因為0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，應該優先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分兩類：（1）0排末尾時，有A個；（2）0不排在末尾時，0又不能排在首位，分三步考慮，第一步：個位從2和4中選一個，有A種；第二步：個位選定后，首位又不能為0，首位有A種；第三步：中間兩位從余下的四個數字選兩個排列，有A種；0不排在末尾有AAA個。共有偶數A+AAA=156個。

2 相鄰問題用捆綁法

在解決對于某幾個元素要求相鄰的問題時，先將相鄰的元素捆綁起來，看作一個元素與其余元素排列，然后再考慮捆綁在一起的元素的內部排列就是捆綁法。

例2：5名男生，3名女生站一排，女生站在一起，有多少種不同的站法？

解：把3名女生“捆綁”在一起看成一人，與5名男生一起看作6人，共有A種排法；又3名女生有A種排法；根據分步計數原理共有排法AA=4320（種）。

注：運用捆綁法解決排列問題時，一定要注意“捆綁”起來的內部的順序問題。

3 相隔問題插空法

不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰，由其它元素將它們隔開.解決此類問題可以先將其它元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的間隙及兩端位置，故稱插空法。

例3：在例2中，求女生彼此不相鄰的站法有多少種不同？

解：先將5名男生站好，有A種排法；每相鄰的兩個男生之間留一個空位，有4個空位，加上兩邊的兩個空位，共7個空位，在7個空位中選3個空位排3名女生，有A種排法；根據分步計數原理共有排法AA=25200（種）。

注：運用“插空法”解決不相鄰問題時，要注意欲插入的位置是否包含兩端位置。

4 分配問題隔板法

就是在n個相同的元素間的（n-1）個空中插入k個板，可以把n個元素分成k+1組的方法。

例4：把12個蘋果分給4個人，每人至少一個，有多少種不同的分法？

分析：建立隔板模型：將12個蘋果排成一列，在它們之間形成的11個間隙中任意插入3塊隔板，就可以把蘋果分成4份，每人得一份。

所以該題答案是：C=165（種）。

5 順難則反，逆向思維

有的排列組合的題目從正面分析較難，而從反面思考往往比較容易。

例5：以正方體的八個頂點為頂點可以組成多少個不同的四面體？

分析：若直接考慮哪四個點能構成四面體，情況十分復雜，而從反面考慮哪四個點不能構成四面體，就比較容易。

不能構成四面體有正方體的6個面和6個對角面，這12個面上的四個點不能構成四面體，其他四個點都能構成四面體。故本題答案為：C-12=58（個）。

6 順序固定用“除法”

元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進行全排列，然后用總的排列數除于這幾個元素的全排列數。

例6：6個人排隊，甲、乙、丙三人按“甲——乙—— 丙”順序排的排隊方法有多少種？

分析：不考慮附加條件，排隊方法有A種，而其中甲、乙、丙的A種排法中只有一種符合條件。故符合條件的排法有A÷A=120種。

7 有序分配問題逐分法

例7：有6本不同的書，按照以下要求處理，各有幾種分法？

（1）平均分給甲、乙、丙三人。（2）甲得一本，乙得兩本，丙得三本。

解：（1）每人得2本，可考慮甲先在6本書中任取2本，取法有C種，再由乙在余下的書中取2本，取法有C種，最后由丙取余下的2本，有C種取法；

所有取法為CCC=90（種）。

（2）選取方法同（1），所以共有取法數為CCC=90（種）。

點評：有序分配問題是指把元素按要求分成若干組，常采用逐步分組法求解。

8 分排問題用“直排法”

把幾個元素排成若干排的問題，可采用統一排成一排的排法來處理。

例8：7個人坐兩排座位，第一排3個人，第二排坐4個人，則不同的坐法有多少種？

分析：7個人可以在前兩排隨意就坐，再無其它條件，故兩排可看作一排來處理，不同的坐法共有A種。

排列組合的解題方法還有很多，對于同一問題有時還有多種方法，因此，要提高思維能力和嚴密推理能力，認真思考和分析，找到最佳解題思路，選取最佳解題方法。只有學好基礎，掌握一些常見的解題方法，提高思維能力和嚴密推理能力，才能真正的學好排列組合。

參考文獻

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[2]陸劍波.例談排列問題的解題策略[J]. 師范教育，2003（3）.

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