高等數學中冪級數的應用

[摘 要]級數展開是高等數學中的重要內容。四階的變系數線性微分方程在工程領域有著廣泛的應用。利用級數展開將復雜的變系數微分方程轉化為一組線性代數方程，通過其系數行列式得到特征方程，這個方法所得出的數值結果與精確值和其他的數值方法相比，數值結果隨著N 的增大，收斂很快，而且精確度也十分高，同時又簡潔方便有效。

[關鍵詞]變系數微分方程 邊界條件 特征方程 級數展開

[中圖分類號]O13 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2013）15-0109-02

一、前言

結構的穩定性研究多年來一直是結構動力學和工程領域內的難點熱點問題之一。隨著科學技術的發展，均勻材料不能滿足人們對材料性能的要求，新材料、新工藝在工程領域中不斷的涌現。如功能梯度材料，它是將兩種不同性能的材料按一定的設計規律組合起來，使得材料性質在幾何空間上連續變化。我們利用數學模型討論功能梯度梁的穩定性問題時，得到的控制方程將會是一個四階變系數線性微分方程。一般來說尋找變系數微分控制方程的解析解是非常困難的，本文采用了一種簡單有效方法，即對未知函數級數展開，建立其變系數的線性方程組，從而得到關于臨界荷載的特征方程。

二、數學模型

考慮一段長為L的變截面功能梯度梁，其兩端受到軸向壓力的作用。在本文中，我們假設梁的材料性質和截面形狀面積是沿著軸線方向變化的。在這種情況下，功能梯度變截面梁在軸向壓力作用下屈曲時的控制方程為：

■[E（x）I（x）■]+p■=0，0≤x≤L， （1）

其中x和w分別表示軸向坐標和撓度，D（x）=E（x）I（x）表示彎曲剛度，其與沿軸向變化的Young氏彈性模量E（x）和截面慣性矩I（x）有關。為了方便起見，我們引入無量綱坐標ξ=x/L，則控制方程（1）可以化為：

■[D（ξ）■]+k■=0，0≤ξ≤1， （2）

三、特征方程的推導

在這一節，我們利用邊界條件控制方程去求解這個復雜的變系數微分方程。通過觀察可知，這個變系數微分方程是一個隨著系數的變化而得到不同數值解的方程。首先，我們把（2）式展開：

D（ξ）w■（ξ）+2D′（ξ）w？蓯（ξ）+kw″（ξ）=0，0≤ξ≤1. （3）

將w（ξ）寫成級數的形式，如果忽略無窮小量，未知撓度函數可近似表示為：

w（ξ）=■a■ξ■，0≤ξ≤1. （4）

下面我們以簡支梁的邊界條件為例，對此問題進行特征方程的推導和特征值的求解。將方程（4）代入邊界條件，分別令ξ=0，1，可以得到以下四個方程：

a■=0， a■=0，（5）

■a■=0，■n（n-1）a■=0，（6）

為了找出剩下N-3個方程，我們可以考慮把方程（4）代入方程（3）中，可得：

D（ξ）[■n（n-1）（n-2）（n-3）a■ξ■]+2D′（ξ）[■n（n-1）（n-2）a■ξ■]+k[■n（n-1）a■ξ■]=0，0≤ξ≤1， （7）

為了使方程（7）變得更加簡潔易懂，可以引入C■■，得到：

■a■{[C■■D（ξ）+2C■■D′（ξ）ξ+C■■D″（ξ）ξ■]ξ■+kC■■ξ■}=0，（8）

C■■=n（n-1），C■■=n（n-1）（n-2），C■■=n（n-1）（n-2）（n-3），

由于0≤ξ≤1，為了找出余下的方程，我們可以在（8）式的兩邊同時乘以ξ■，然后再兩邊對ξ在[0，1]積分，可以得到：

■（T■+kT■）a■=0，m=0，1，2，…，N-4，（9）

其中T■=■■■[C■■D（ξ）+2C■■D′（ξ）ξ+C■D″（ξ）ξ■]ξ■dξ，

T■ =■■■C■■ξ■dξ.

由方程（5），（6）和（9），我們得到了關于變量a■的N+1個線性方程。由高等代數的知識可知，為了使得線性方程組有平凡解（非零解），必須要求其系數矩陣的行列式為零。因此，我們可以得到含有k的特征方程：

det（T■+kT■）=0. （10）

四、數值結果與討論

為了進一步討論軸向非均勻梁的性質與本文介紹求解方法的關系，我們采用了兩種特殊多項式形式的彎曲剛度，一是線性變化的彎曲剛度：

D■（ξ）=1+ξ， （11）

另外一個是沿著軸線方向的拋物線變化的彎曲剛度：

D■（ξ）=（1+ξ）■. （12）

為了比較這兩種彎曲剛度，在表1和表2中，我們給出了其他文獻利用有限元和有限差分等方法得到的數值結果。從表中我們可以看出，我們的結果與其他文獻的數值結果相當吻合，表明了該方法的有效性和精確性。

表1 彎曲剛度為D（ξ）=1+ξ的非均勻梁的無量綱臨界荷載

■

表2 彎曲剛度為D（ξ）=（1+ξ）■的非均勻梁的無量綱臨界荷載k

■

通過以上數據的對比，我們清晰地得出本文介紹的方法對于解決不均勻功能梯度梁的屈曲問題非常有效，不僅能夠非常有效的解決簡支梁和固支梁，還可以很好的解決一端簡支一端固支這種比較復雜的功能梯度梁，而且精確度非常高。

五、小結

本文研究了軸向梯度功能和變截面梁的穩定性問題，針對該問題的數學模型---四階變系數線性微分方程，提出了有效的解決方法，通過未知函數的級數展開結合邊界條件，將變系數的微分控制方程轉化為其系數的線性方程組，從而得到關于臨界荷載的特征方程。在數值結果與討論中，通過與均勻梁臨界荷載精確解以及其他文獻中采用有限元、有限差分法得到的數值結果進行比較，發現本文給出的數值結果不僅收斂的速度很快，而且精度也很高。

[ 參 考 文 獻 ]

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[4] K.V.Singh，G.Q.Li. Bucking of functionally graded and elastically restrained non-uniform columns[J]. Composites B . 2009，（40）：393-403.

[5] D.M.A. Rosa， C. Franciosi. The optimized Rayleigh method and mathematica in vibrations and buckling problems[J]. J. Sound Vib，1996，（191） ： 795-808.

[責任編輯：林志恒]