數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)專業(yè)課程教學(xué)的探討

[摘 要]在數(shù)學(xué)專業(yè)課程教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想具有其必要性與重要性。數(shù)學(xué)專業(yè)課程教學(xué)應(yīng)將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、常微分方程課程教學(xué)中。對(duì)教學(xué)方法進(jìn)行必要的改革，更新教材內(nèi)容，建立新的課程體系。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)專業(yè)課程 課程教育

[中圖分類號(hào)] G640 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2013）15-0106-03

在知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代，數(shù)學(xué)科學(xué)的地位發(fā)生了巨大的變化，數(shù)學(xué)理論與方法不斷擴(kuò)充，數(shù)學(xué)應(yīng)用越來(lái)越廣泛和深入。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育重視的是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的傳授，數(shù)學(xué)概念、定義、定理及基本計(jì)算方法的傳授，課堂教學(xué)基本以教師為中心，以教材為藍(lán)本，內(nèi)容抽象，學(xué)習(xí)難度較高，學(xué)時(shí)少，內(nèi)容多，不重視如何應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題，忽視了訓(xùn)練學(xué)生如何從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)提煉出數(shù)學(xué)模型，以及如何用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的環(huán)節(jié)。筆者認(rèn)為將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)專業(yè)課程教學(xué)中，能為數(shù)學(xué)與外部世界構(gòu)建一架橋梁，改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，提高課堂教學(xué)效率，從而培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題與科學(xué)探究的能力，是對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)體系和內(nèi)容改革的一個(gè)有益嘗試。

一、在數(shù)學(xué)專業(yè)課程教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的必要性與重要性

數(shù)學(xué)家吳文俊曾說(shuō)過(guò)，“數(shù)學(xué)要真正得到應(yīng)用，數(shù)學(xué)建模是取得成功最重要的途徑之一”。數(shù)學(xué)建模是如何定義的呢？數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽全國(guó)組委會(huì)主任李大潛這樣來(lái)解釋，數(shù)學(xué)是一門(mén)重要的基礎(chǔ)學(xué)科，它的呈現(xiàn)形式是非常抽象的，而它豐富的內(nèi)涵往往是掩蓋在其抽象的形式背后的，學(xué)生不能理解，往往認(rèn)為學(xué)數(shù)學(xué)無(wú)用。現(xiàn)實(shí)中我們要解決一個(gè)工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)建設(shè)、控制與優(yōu)化、預(yù)報(bào)與決策或是社會(huì)領(lǐng)域等方面的問(wèn)題，首先要在實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)問(wèn)題之間架設(shè)一個(gè)橋梁，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，其次要對(duì)它進(jìn)行分析和計(jì)算，求得結(jié)果，最后要驗(yàn)證這個(gè)結(jié)果是否符合實(shí)際，其中最關(guān)鍵的就是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述我們所要研究的對(duì)象，即建立數(shù)學(xué)模型。可見(jiàn)，數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)理論與實(shí)際問(wèn)題的橋梁，它是對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析，建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)模型求解并用于處理實(shí)際問(wèn)題的。可見(jiàn)，在各個(gè)專業(yè)開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)建模課程，同時(shí)積極參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，在數(shù)學(xué)專業(yè)課程中努力融入數(shù)學(xué)建模思想，是值得大力提倡的做法。

二、在數(shù)學(xué)專業(yè)課程教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的一些建議

（一）更新教材內(nèi)容，建立新的課程體系

教材是教師“教”和學(xué)生“學(xué)”的主要依據(jù)，教材編寫(xiě)的好壞與教學(xué)質(zhì)量有直接的聯(lián)系。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教材內(nèi)容是一個(gè)完整的知識(shí)體系，是以“知識(shí)點(diǎn)為中心”來(lái)呈現(xiàn)的，知識(shí)點(diǎn)非常抽象且難以理解。而新的課程體系的指導(dǎo)思想是以提高數(shù)學(xué)素質(zhì)為目的， 從基礎(chǔ)出發(fā)，同時(shí)注重理論聯(lián)系實(shí)際，把數(shù)學(xué)建模思想真正融入數(shù)學(xué)專業(yè)課程當(dāng)中。在將純理論的數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系起來(lái)時(shí)，最好在學(xué)習(xí)定義、性質(zhì)、定理等都能介紹相關(guān)的背景知識(shí)或者是與之有關(guān)的小故事，讓學(xué)生了解該定義與定理是如何在實(shí)際中產(chǎn)生的，能解決實(shí)際中的哪些問(wèn)題，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓他們積極主動(dòng)地探索，并進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。最后，在新教材的編寫(xiě)上面應(yīng)注重教育理念的更新，教材內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，注重?cái)?shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)。

（二）對(duì)教學(xué)方法進(jìn)行必要的改革

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)專業(yè)課教學(xué)一般采用教師講、學(xué)生聽(tīng)的教學(xué)模式， 始終把學(xué)生當(dāng)成是知識(shí)的容器，這種以知識(shí)為中心的模式有必要進(jìn)行改革了。我們的教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該是培養(yǎng)學(xué)生具備獲取知識(shí)的能力，主動(dòng)探索的精神，自我思考的意識(shí)。教師在講授時(shí)可以創(chuàng)設(shè)豐富的問(wèn)題情境，精講多思，引發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解。課堂上可以采用小組的形式（同組、前后四人小組、六人小組乃至大組）進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，對(duì)該堂課的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行反復(fù)強(qiáng)化，這樣可以有效提高課堂教學(xué)效率。在課堂教學(xué)中還可以采用理論與實(shí)際結(jié)合、教師講授與學(xué)生討論結(jié)合、數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)。另外，在數(shù)學(xué)專業(yè)課程教學(xué)中，也可以采用數(shù)學(xué)建模教學(xué)中普遍用到的案例教學(xué)和課堂討論來(lái)豐富數(shù)學(xué)專業(yè)課程教學(xué)的形式和方法，還可以用“項(xiàng)目教學(xué)法”和“面向問(wèn)題式教學(xué)法”來(lái)引入新的概念和定理，從而培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作意識(shí)與面對(duì)困難的勇氣。

（三）在數(shù)學(xué)專業(yè)課程中巧妙滲透數(shù)學(xué)建模思想

1.在數(shù)學(xué)分析課程中滲透數(shù)學(xué)建模思想

廣義地說(shuō)，數(shù)學(xué)分析要研究的是與所謂連續(xù)性有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，為此人們建立了許多有效的方法，其中重要的工作是確切地說(shuō)清楚了極限現(xiàn)象，也就是在數(shù)學(xué)上合理地定義了極限。而極限概念是學(xué)生很難理解的一個(gè)概念，是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。但極限也是從現(xiàn)實(shí)世界抽象出來(lái)的一個(gè)數(shù)學(xué)模型，教師可以用數(shù)學(xué)建模思想來(lái)解釋這個(gè)概念，以此提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。例如：我們可以利用《莊子·天下篇》中的一句話“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭”來(lái)引入，引導(dǎo)學(xué)生分析并歸納出數(shù)列極限的概念。而在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)概念時(shí)，可以引入瞬時(shí)速度與曲線上某一點(diǎn)處的切線斜率這兩個(gè)模型來(lái)抽象出共同的本質(zhì)特點(diǎn)從而導(dǎo)出導(dǎo)數(shù)的概念，這樣學(xué)生就不會(huì)覺(jué)得突兀，難以接受了。數(shù)學(xué)分析中有很多定理，在定理的證明過(guò)程中，傳統(tǒng)的教學(xué)方式往往是用定理來(lái)證明定理，學(xué)生不容易理解。此時(shí)，可以先讓學(xué)生了解定理產(chǎn)生的背景以及與定理有關(guān)的小故事，引起他們的興趣，然后把定理的結(jié)論看作是一個(gè)特定的數(shù)學(xué)模型，教師通過(guò)定理的條件（看作是模型的假設(shè)）預(yù)先設(shè)計(jì)的問(wèn)題情境引導(dǎo)學(xué)生去建立這個(gè)模型，從而證明出定理的結(jié)論。

2.在高等代數(shù)課程中滲透數(shù)學(xué)建模思想

《高等代數(shù)》是數(shù)學(xué)教育專業(yè)的三大專業(yè)基礎(chǔ)課之一。該課程內(nèi)容比較多，學(xué)時(shí)少，在有限的學(xué)時(shí)內(nèi)要完成教學(xué)任務(wù)，教師只能在課堂教學(xué)中注重高等代數(shù)的基本概念、基本方法和基本思想的闡述，對(duì)于高等代數(shù)中問(wèn)題產(chǎn)生的背景以及在學(xué)科中的應(yīng)用和與中學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系等內(nèi)容就無(wú)法涉及，因而數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)新生很難迅速地由中學(xué)初等思維向大學(xué)高等思維轉(zhuǎn)變，大部分學(xué)生都覺(jué)得高等代數(shù)太抽象、太難理解，甚至覺(jué)得沒(méi)有用。面對(duì)這樣的教學(xué)狀況，教師可以考慮將數(shù)學(xué)建模思想融入高等代數(shù)課程當(dāng)中，可以在概念與定理的教學(xué)中，先給出一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型例子，把實(shí)際問(wèn)題融入高等代數(shù)的內(nèi)容中，讓學(xué)生知道抽象的代數(shù)概念也是來(lái)源于現(xiàn)實(shí)世界的，是與實(shí)際問(wèn)題息息相關(guān)的，這樣會(huì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于教學(xué)的開(kāi)展。在高等代數(shù)教學(xué)中，主要涉及的內(nèi)容是多項(xiàng)式概念、行列式概念、線性方程組概念、矩陣概念及線性空間概念，針對(duì)每一個(gè)概念，教師可以先找與它有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題作為一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，在課堂上，可以讓學(xué)生從該模型入手，小組討論，展示結(jié)果，從而得到本堂課要學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)。

3.在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中滲透數(shù)學(xué)建模思想

近幾年來(lái)，在全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽試題中，很多競(jìng)賽題目都用到了概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程描述、分析和處理問(wèn)題的方法與其他數(shù)學(xué)分支不同，它是一種觀測(cè)試驗(yàn)與理性思維相結(jié)合的科學(xué)方法。概率統(tǒng)計(jì)中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)方法，如模型化法、構(gòu)造法、變換法等。例如：現(xiàn)在備受大家關(guān)注的一種對(duì)人類生命產(chǎn)生嚴(yán)重威脅的疾病——腦卒中（也叫做腦中風(fēng)），專家已經(jīng)證實(shí)它的誘發(fā)與環(huán)境因素（包括氣溫和濕度）存在密切的關(guān)系。因此，我們需要針對(duì)腦卒中發(fā)病率與氣溫、氣壓以及相對(duì)濕度的關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，并結(jié)合高危人群的特征和關(guān)鍵指標(biāo)，研究腦卒中發(fā)病的規(guī)律。首先，根據(jù)病人的基本信息，對(duì)其性別、年齡段、職業(yè)等三方面進(jìn)行分類統(tǒng)計(jì)，利用賦值、作圖等形式得出下面的結(jié)論：腦卒中男性患者多于女性患者；中老年人在發(fā)病人群中發(fā)病率最高，高達(dá)98%；在各類職業(yè)發(fā)病人群中農(nóng)民的發(fā)病率最高（占68%），其次為退休人員（16%）和工人（11%）。其次，先對(duì)病例和氣象因素?cái)?shù)據(jù)進(jìn)行分析、處理，運(yùn)用圖表的形式展現(xiàn)2007至2010年各月病例數(shù)和氣象因素的變化規(guī)律，再利用圓形統(tǒng)計(jì)分析法通過(guò)三角函數(shù)變換計(jì)算出腦卒中的高峰期。進(jìn)而采用多元線性回歸分析，建立模型，運(yùn)用最小二乘法計(jì)算得多元線性回歸方程，并對(duì)其作隨機(jī)誤差項(xiàng)方差的估計(jì)得出回歸方程的標(biāo)準(zhǔn)誤差較大，進(jìn)而采用8項(xiàng)氣象指標(biāo)分別與同期腦卒中的月發(fā)病例數(shù)進(jìn)行單因素相關(guān)性分析，再應(yīng)用后退法多元逐步回歸分析多種氣象因素共同作用與腦卒中的相關(guān)性，得出腦卒中與最高氣壓、平均氣壓、最高溫度、平均相對(duì)濕度相關(guān)性較大。最后，通過(guò)網(wǎng)上查閱相關(guān)資料及有關(guān)文獻(xiàn)，運(yùn)用軟件對(duì)其數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，計(jì)算出腦卒中發(fā)病率的各因素的爆發(fā)率，從而確定影響高危人群引發(fā)腦卒中疾病的重要因素。結(jié)合前面的結(jié)論，從腦卒中的可干預(yù)因素及不可干預(yù)因素中對(duì)腦卒中高危人群提出相應(yīng)的預(yù)防措施和建議方案。可見(jiàn)，研究腦卒中發(fā)病的規(guī)律，利用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型對(duì)衛(wèi)生部門(mén)和醫(yī)療機(jī)構(gòu)各方面的改善和改革都具有實(shí)際意義。

4.在常微分方程課程中滲透數(shù)學(xué)建模思想

在常微分方程教學(xué)中，涉及建立數(shù)學(xué)模型的問(wèn)題很多。教師在授課當(dāng)中，要注重在實(shí)際問(wèn)題中提煉出微分方程，同時(shí)進(jìn)行求解。如傳染病模型：我們知道各種傳染病一直是大家關(guān)注的熱點(diǎn)，然而不同類型的傳染病它的傳播過(guò)程有其各自不同的特點(diǎn)，弄清這些特點(diǎn)需要相當(dāng)多的病理知識(shí)，我們不可能從醫(yī)學(xué)的角度一一分析各種傳染病的傳播，而只能按照一般的傳播機(jī)理來(lái)建立幾種模型。最初建立的模型把病人人數(shù)看成是連續(xù)、可微函數(shù)，把每天每個(gè)病人有效接觸的人數(shù)看成是常數(shù)，此模型不符合實(shí)際，基本上不能用，于是修改假設(shè)后得到SI模型，此模型雖有所改進(jìn)，但仍不符合實(shí)際，進(jìn)一步修改假設(shè)，并針對(duì)不同情況建立SIS模型和SIR模型，這兩個(gè)模型描述了傳播過(guò)程、分析感染人數(shù)的變化規(guī)律，預(yù)測(cè)傳染病高潮到來(lái)時(shí)刻，度量傳染病蔓延的程度并探索制止蔓延的手段，是比較成功的模型。如正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)：在第一次世界大戰(zhàn)期間，F(xiàn).W.Lanchester提出了幾個(gè)預(yù)測(cè)戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)局的簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型，其中有描述傳統(tǒng)的正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)的，也有考慮稍微復(fù)雜的游擊戰(zhàn)爭(zhēng)的，以及雙方分別使用正規(guī)部隊(duì)和游擊部隊(duì)的混合戰(zhàn)爭(zhēng)的。后來(lái)對(duì)這些模型進(jìn)行進(jìn)一步的改進(jìn)和完善，用以分析一些著名的戰(zhàn)爭(zhēng)。J.H.Engel用二次大戰(zhàn)末期美日硫磺島戰(zhàn)役中的美軍戰(zhàn)地記錄，對(duì)正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型進(jìn)行了驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)模型結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)吻合得很好。

5.在考核中適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)建模思想

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)專業(yè)課程考核中，教師大都采用一套試卷來(lái)進(jìn)行測(cè)試，試題的題型是固定的，內(nèi)容是例題的翻版。這種考核方式根本不能看出學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握的程度。因此，教師有必要在考核中適當(dāng)引入一些數(shù)學(xué)建模問(wèn)題；或者在考核中引入一些趣味游戲，由學(xué)生獨(dú)立或組隊(duì)去完成問(wèn)題，記錄成績(jī)，把這作為學(xué)生平時(shí)成績(jī)的一個(gè)方面。通過(guò)這種做法，學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與實(shí)際確實(shí)是不可分開(kāi)的，數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)際，同時(shí)也體會(huì)到團(tuán)隊(duì)合作的重要性，從而獲得除數(shù)學(xué)知識(shí)本身以外的素質(zhì)與能力。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

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[責(zé)任編輯：陳 明]