大學數學案例教學研究與應用

[摘 要]大學數學其主要包括高等數學、概率論與數理統計和線性代數三門課程。案例教學法模式能很好地把理論學習與實踐應用相結合。大學數學應用案例教學有助于培養學生的學習興趣，活躍課堂氣氛，有助于實現教學相長。實施案例教學中需合理選擇案例，遵循可行性原則、針對性原則和趣味性原則。教師的主導作用在于做好課前準備、課中引導、課后總結工作案例教學方法應與多種教學方式相結合。

[關鍵詞]大學數學 案例 案例教學

[中圖分類號] G642.0 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2013）15-0102-03

一、引言

大學數學是高校理工農類、經管類等專業必修的公共基礎課程，其主要包括高等數學、概率論與數理統計和線性代數三門課程。大學數學的理論和方法是高校許多學科各專業后續專業課程學習的基礎，有助于學生數學素養的養成及提高運用數學思想和方法解決實際問題的能力。然而，由于大學數學內容豐富、抽象，邏輯推理性較強，一直被許多學生認為是枯燥乏味、比較困難的課程，學生上課興趣普遍不高、考試通過率低。因此，如何結合課程和專業特點，科學合理地設計教學方式、方法，有效開展教與學的雙邊活動，提高課堂效率，是廣大從事大學數學教學的教師應該關注和研究的問題。

本文結合大學數學理論和方法具有較強應用性的特點，結合教學實踐，研究案例教學在大學數學課程教學中的應用問題，以期通過科學設計教學環節、合理運用案例教學，把大學數學抽象的理論知識與實際問題聯系起來，培養學生的學習興趣，使學生不僅樂于學，而且感覺學有所用，從而提高教學效果。

二、案例教學的定義

案例教學法是由美國哈佛法學院前院長克里斯托弗·各倫斯布斯·蘭德爾在1870 年提出的一種全新的教學方法，由于該教學模式能很好地把理論學習與實踐應用相結合，故自其出現之后，案例教學方法便迅速在世界各地得到了廣泛的發展和應用。與此同時，對案例教學的定義也由于各種不同的認知觀點和理論基礎而存在不同的表述。一般認為，案例教學是圍繞教學目標，在教師的指導下，讓學生對呈現的典型案例進行討論分析、歸納總結，從而培養其思維能力的一種新型教學方法。[1]由于案例教學以案例為基本教學材料，將學生引入理論與實踐相結合的情境中，使學生在對話、交流和討論中加深對課程基本理論、概念和方法的理解和掌握，因此，案例教學對于培養學生自主學習能力、創新精神、團隊協作精神及提高發現問題、分析問題和解決問題能力等多方面具有重要的意義。

三、大學數學課程應用案例教學的可行性

案例是案例教學中的一個重要的要素，[2]而來源于現實生活中出現的實際情況與具體問題的真實案例更能引起學生的關注和參與，也有助于案例教學活動實現最佳的教學效果。大學數學的三門公共基礎課的理論和方法在實際中都具有廣泛應用。首先，在高等數學中，對函數各種性態的研究方法和結果可用于解決實際生活、生產活動中諸如求最優值、平面圖形面積、變力做功及相對或絕對變化率等相關的問題。其次，由于現實世界中普遍存在著各種不確定性和隨機性，故概率論與數理統計的理論與方法在生物、醫學、金融以及管理決策等多個領域都有著廣泛的應用。法國數學家拉普拉斯就曾說過：生活中最重要的問題，其中絕大多數在實質上只是概率的問題。另外，隨著電子計算機技術的快速發展和普及，線性代數作為一種解決離散變量的線性關系問題的重要的計算和分析工具也已在控制與決策、經濟管理等領域得到廣泛的應用。因而，大學數學在實際中的廣泛應用實例為開展案例教學提供了必要的可行性。

四、實施案例教學中需注意的幾個問題

（一）合理選擇案例

案例是案例教學的主要內容，在整個課程教學中發揮著至關重要的作用，案例選取的好壞直接影響到案例教學的效果。下面結合作者本人的教學實踐，給出大學數學課程案例選擇的幾個參考原則。

1.可行性原則

可行性是指所選案例要有真實感，同時能讓學生用當前所學知識理解和分析案例。案例最好來源來實際的工作或生活問題且難度適當，不切實際或難度太大的案例都會讓學生失去討論和分析的興趣。例如在講概率論與數理統計時，可選取如下在日常生活中常見的抽簽問題作為案例。

案例1 一場精彩的足球比賽將要舉行，5個球迷好不容易才弄到一張球票，由于大家都很想去看球，只好用抽簽的方法來決定，試問后面抽簽的比先抽簽的吃虧嗎？

這是一個很簡單的案例，學生可先通過直觀的認知感覺對結果進行討論，在教師的引導下，相信多數的學生很快就會發現該問題實質上等價于用乘法公式計算每個人抽中球票的概率。并通過分析計算得到結論：每個人抽中球票的概率是一樣的，即抽簽不必爭先恐后。

2.針對性原則

案例應盡可能根據本專業特點來選擇。通過案例教學，讓學生認識到數學理論和方法在本專業中的具體應用，明確為何學數學的問題，進而增強學習數學的主動性和積極性。如在講《線性代數》中相似矩陣及矩陣對角化的知識點時，可考慮如下的兩個案例。

案例2 有甲、乙兩個地區，假設甲地每年有30%的人遷入乙地，乙地每年有20%的人遷入甲地，設甲地人口60萬，乙地人口40萬，且兩地區總人口保持不變。問5年后甲地及乙地人口分別是多少？ 經過很長時間后，兩地人口的分布是否會趨于一個“穩定狀態”？

案例3 設某個農業研究所植物園中某植物的基因型為AA，Aa和aa.常染色體遺傳的規律是：后代是從每個親體的基因對中繼承一個基因，形成自己的基因對。如果考慮的遺傳特征是由兩個基因A，a控制的，那末就有三種基因對，記為AA，Aa，aa.研究所計劃采用AA型的植物與每一種基因型植物相結合的方案培育植物后代。另設雙親體結合形成后代的基因型概率如表一所示，問經過若干年后，這種植物的任意一代的三種基因型分布如何？

表一 基因型概率矩陣

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上述兩個案例都可以歸結為用《線性代數》矩陣對角化的方法結合極限方法求解。[3]但兩個案例的應用背景不同，一個是人口問題，另一個則為生物育種問題。故在案例教學中，對于經管類專業可以選取案例2進行討論分析，而對于農林類和生科類的學生，則選取案例3較為適宜。

3.趣味性原則

興趣是最好的老師，一個生動、有趣的案例會引起學生極大的興趣，從而積極主動地參與到案例的討論和分析中。例如講授《高等數學》差分方程的內容時，可以選擇以下案例。

案例4[4] 設某人目前體重100kg，如果每周吸收20000kcal的熱量，則體重維持不變，現欲通過控制飲食和增加運動減肥至75kg.考慮以下的塑身計劃問題。

（a）如果在不運動的情況下分兩階段進行塑身。第一階段：每周減肥1kg，每周吸收熱量逐漸減少，直至達到下限（10000kcal）.第二階段：每周吸收熱量保持下限，直至達到減肥目標。則第一階段每周應吸收多少熱量？第一和第二階段各需多少周？

（b）如果在第二階段增加運動以加快塑身計劃進程，試就表二給的數據安排計劃。

（c）給出達到目標后維持體重的方案。

表二 每小時每千克體重消耗的熱量（kcal）

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該案例可以通過求解一階非齊次差分方程得到塑身計劃方案。由于減肥問題是日常生活中喜聞樂見的問題，故該案例能吸引學生濃厚的興趣，在對問題的探究求解過程中也必將加深對所學數學內容的理解和掌握。

（二）發揮好教師的主導作用

案例教學強調以學生為參與的主體，教師為主導，主導服務于主體。雖然教師不再是講授的主要角色，但發揮好教師的主導作用是案例教學成功的重要保證。這需要求其做好以下幾方面的工作。

1.課前準備。首先，任課教師需根據授課內容在課前確定所用案例，教師可以從已有的案例庫中選取，也可以安排學生課前分組通過網絡、報刊、雜志等渠道搜集他們感興趣的案例。其次，確定案例后，教師需充分熟悉案例及蘊涵在案例中的理論方法，并對案例教學過程中可能出現的各種情景預先做出估計和分析，并制定相應的應對措施。

2.課中引導。教師作為案例教學的主持人，在積極引導學生發言和討論的同時，需根據所授內容的難易以及學生的現場反應，把握好節奏和尺度，調動和營造良好的課堂氣氛，使學生的主體性得以充分的發揮，實現最佳的教學效果。

3.課后總結。案例教學結束后，教師要及時進行總結。一方面，對學生在案例討論分析中的表現進行點評，如對學生在分析解決問題中呈現出的創造性思維給予表揚，而對于某些不足之處則加以指正和鼓勵。同時，教師應引導學生歸納和整理案例教學中所用到的知識和方法，使知識系統化。另一方面，教師也要根據案例教學的實踐情況，對案例選擇、教學方法、組織方式等方面進行總結，不斷地改進和完善案例教學方法。

（三）案例教學與多種教學方式相結合

如前所述，案例教學在激發學生學習興趣，實現教學相長等方面具有傳統教學方法所不能比擬的優勢。但我們也應注意到，案例教學的有效開展無論是對教師還是學生都有較高的要求，學生只有將相關數學理論和方法理解得透徹，才能充分參與案例討論。而作為主導者的教師，能在案例教學的過程中熟練融合運用啟發式、問題式、討論式等教學方法也是案例教學取得成功的重要因素。另外，案例教學也存在傳授知識缺乏系統性及教學復雜、耗時等不足。因而，案例教學應與多種教學方式、方法相結合，才能發揮其最大的作用。

五、結束語

數學是一門理論與實踐并重的科學，隨著社會的發展進步，數學與其他學科的交叉融合不斷得到加強和發展。時代的發展要求學生不但要學會數學的基本理論和方法，更重要的是學會將其靈活運用。案例教學法作為理論聯系實際的橋梁，雖然其也存在一定的不足，但通過教學實踐表明，在大學數學課程中引入案例教學，對培養學生學習數學的興趣、提升教學效果、完善數學課程建設及實現學生的素質教育等多方面都有著積極的作用。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 關秋，陳梅.案例教學的理論研究綜述[J].教育與職業，2011，（20）：145-146.

[2] 郭德紅，紀向榮.案例教學的要素和方法[J].衡水學院學報，2007，9（2）：107-110.

[3] 黎虹.線性代數教學中結合應用問題舉例[J].菏澤學院學報，2009，31（2）：127-130.

[4] 王中興.微積分[M].北京：科學出版社，2012.

[責任編輯：林志恒]