提高概率論與數理統計教學效果的幾點體會

[摘 要]本文針對概率論與數理統計教學的實際情況，提出了幾點教學的體會和建議。通過改進教學，激發學生的學習興趣，使學生更深刻地理解該課程的思想方法，更好地掌握該課程的內容。

[關鍵詞]思想方法 聯系實際 類比和比較 分類和歸納

[中圖分類號] O211.1， O212.1 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2013）22-0058-03

概率論與數理統計是一門公共基礎課，也是許多專業研究生入學考試要求的一部分，它的應用幾乎遍及科學技術的各個領域，在社會生活中有著廣泛的應用，但這門課又被學生認為是一門較難學好的課程，主要是感到公式太多，記不住，思想方法理解不透，而做題時又無從下手。筆者根據多年的教學經驗，認為可從以下幾方面入手提高該門課的教學效果。

一、淡化數學推導，講好思想方法

在概率論與數理統計課中，為得到某個結論，或為證明某個性質，經常有一些篇幅較長或有一定技巧性的嚴密推導，筆者以為應根據實際情況適當淡化這些數學推導。事實上，過多地應用高等數學等知識進行數學推導，往往消耗許多寶貴的學時，而且效果不佳，由于學生對高等數學知識的掌握還不能達到運用自如的地步，所以當學生陷入對推導細節的思考與推敲時，往往不能自拔，從而失去學習該門課的興趣。如教材中分布函數右連續性的證明、泊松定理的證明、由二維正態分布密度推出邊際分布密度、（X，Y）服從二維正態分布時求與的相關系數等等，這些嚴密的推導只需指出思路和方法即可。對于公式和結論不能只停留在給出和推導，應注重解釋公式和結論的背景、實際意義和說明的問題，把有限的學時更多地放在解釋概率統計的思想和應用理論知識解決實際問題上，避免使數學式子的繁瑣變形成課堂的主角。

比如全概率公式，其思想就是采用“迂回”戰術，把問題“化整為零”，其關鍵是正確找出“劃分”。當一個事件的概率不容易求得時，若可以確定劃分各事件的概率及所求事件對劃分中各事件的條件概率，則可由全概率公式求出事件的概率。對以下簡單題目錯誤的解答說明了解釋全概率公式思想的重要性。

例：一批零件，其中■從甲廠進貨，■從乙廠進貨，已知甲、乙兩廠的次品率分別是0.02和0.06，現從這批零件中任取一個零件，求取得的零件是次品的概率。

本來這是一個非常簡單的題目，但有的同學最后的解答卻是：當所取零件是從甲廠進貨，則所求概率為0.02；當所取零件是從乙廠進貨，則所求概率為0.06。

這種錯誤在于沒有掌握全概率公式的思想。事實上，當任取一個零件時，該零件既有可能是甲廠生產，也有可能是乙廠生產，所問的正是在這種情況下，該零件是次品的概率。完整考慮到這兩種情況而任取一個零件是次品的概率，體現了全概率公式中的“全”字。“化整為零”的目的就是最后求出一個“總”的概率。

又比如，在講離散型隨機變量數學期望的定義時，應指出該概念的背景是生活中的“平均數”，但不是簡單的算術平均，是一種 “加權平均”，是隨機變量按照概率取不同值的情況下的平均取值，這個平均數考慮了隨機變量取不同值的可能性，是對隨機變量取值的一種綜合評價，取不同值的概率就是所謂“加權平均”中的“權”。顯然，在有限次試驗中，隨機變量取各個值和取各個相應值的頻率相乘，然后將所有這樣的乘積相加便是在有限次試驗中隨機變量的平均取值，但要從整體上描述隨機變量的平均取值，而不僅僅是某些有限次試驗中的平均取值，顯然用概率替代頻率是合理的，這樣就得到離散型隨機變量數學期望的定義。

二、理論聯系實際，注重實踐教學

概率論與數理統計是一門應用性學科，它來源于實際生活而又服務于實際生活。因此，在教學中必須聯系實際，注重實踐教學。

一些與實際生活緊密相連的問題會激發同學的學習興趣，從而使教學過程充滿活力。例如買彩票問題，經常有同學會問：“學好概率是否有助于中獎？”“社會上有人沉迷于研究彩票，從過去的中獎號碼推知未來的中獎號碼有無道理？”學好概率確實有助于我們正確認識彩票中獎問題。首先，買一張彩票中大獎的概率非常小，以七星彩為例（中獎號碼是七位數），中500萬大獎要求七位數與開獎結果完全一致，每個位置上的數與中獎號碼相同的概率為■，而由事件的獨立性可知，七位數與中獎號碼完全一致的概率為■≈0.0000001，即千萬分之一，這是一個非常小的概率，有資料表明七星彩其他級別的中獎概率也是極小概率的事件，概率最大的末等獎（5元獎金）中獎概率也僅為百分之五，根據小概率原理我們不能指望中獎，對買彩票未中獎應有一個良好的心態。其次，不難看出不同次抽獎發生的事件是相互獨立的事件，過去的中獎號碼與未來的中獎號碼沒有關系。由教材中的例題知：小概率事件在大量重復試驗中至少發生一次的概率會很大。將這一結論應用在買彩票問題上，可以看出經常買彩票無疑會提高中大獎的概率。 在介紹了二項分布和泊松定理后，可仍以七星彩為例，計算若使至少中大獎一次概率較高時，需重復購買彩票次數的近似值。像這樣與實際生活緊密相連的問題很多，如生日問題、體育比賽中抽簽與順序無關問題、約會問題、分組驗血法、保險公司盈利與虧損問題等等。

在課堂教學后，盡可能使學生將所學知識 “回歸”到實踐中，讓學生自己查找資料和收集數據，驗證和應用所學的知識。比如，生日問題是教材中的一個有趣例題，通過對n取不同的值列出相應的概率，可能會感到“n個人中至少有兩個人生日在同一天”概率比想象的要大，學生可在實際生活中對這樣的結論驗證和調查。例如，在課外查找44位美國總統的生日資料，發現其中有2位總統的生日是在同一天，即第十一任總統波爾克和第二十九任總統哈定，他們都出生在11月2日。類似地，結合古典概型和數學期望的知識分析某個賭博游戲或某種彩票；測量部分同學的身高，根據部分同學的身高，給出所有同學平均身高的估計值、在一定置信度下的置信區間、檢驗對所有同學平均身高提出的某種假設，看全體同學身高是否服從正態分布等等。這些力所能及的實踐活動會促使學生對理論知識的進一步消化，充分體會生活中的數學。

三、注意運用類比和比較的教學方法

概率論與數理統計課概念多、結論多、公式多，不少同學對此有較大的畏難情緒。事實上，該門課中很多概念、結論和公式相近但又互有差別，一類結論往往是另外一類結論的推廣或者是用同一思想方法處理多種情況，從而得到一系列公式。在教學中，應充分利用該門課的這一特點，運用類比和比較的方法，幫助學生記憶和掌握基本內容。

類比的教學方法就是從兩類事物的相似關系出發，根據一類事物的性質、結論和規律來推測出另一類事物也有相似的情況。比較的教學方法就是對兩類事物的相似點和不同點進行對比，從而進一步把握事物的本質特性，加深對兩類事物的理解和記憶。比如，在講解二維隨機向量時，應說明二維隨機向量的概念和性質均是一維隨機向量（即隨機變量）相應概念和性質的推廣，處理問題的思想和方法完全類似，而二維隨機向量的聯合分布與邊際分布的關系則顯示了二維隨機向量與隨機變量的一種聯系。可引導學生由隨機變量X的分布函數、分布列、分布密度的定義及其性質推測二維隨機向量（X，Y）的聯合分布函數、聯合分布列、聯合分布密度的定義及其性質，并對最后的結果進行比較，還可進一步引導學生對高維隨機向量的相應概念和性質進行推測，從而得出結論。

類比和比較教學是多層次和多角度的，既有平行內容的類比和比較，也有縱深內容的類比和比較；既有概念和結論的類比和比較，也有解題方法上的類比和比較。比如伯努里概型與超幾何分布、離散型隨機變量與連續型隨機變量、一個隨機變量的函數與兩個隨機變量的函數、矩估計法與最大似然估計法、區間估計與假設檢驗以及不同情況下的區間估計和不同情況下的假設檢驗等等，其中不同情況下的區間估計和不同情況下的假設檢驗的數學公式多，內容枯燥，學生畏難情緒很大，但該部分內容明顯具有用同一思想方法處理多種情況的特點，在教學中緊緊抓住這一特點，引導學生概括出一般的思想方法，類比和比較不同情況下的公式，對于學生記憶公式，提高課堂教學對學生的吸引力是十分有益的。可將類比和比較的內容畫出表格或給出邏輯聯系圖，使學生一目了然。

類比和比較的教學方法具有以下優點：

1.類比和比較的過程是展示知識的發生、發展和形成的過程，學生可從中理解知識的來龍去脈，從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中發現“變”的規律，有利于學生更深刻地掌握所學的知識。

2.引導學生在類比推測中得到新的公式、性質和結論，使學生在“探究學習”中體會探究的成就感，從被動地聽課轉為更積極地參與教學活動，提高了學生的自主性和學習興趣。

3.比較的過程是對過去已學知識進行復習和歸納的過程。通過比較，使知識在學生的大腦中形成知識網絡和一個有機聯系的整體，分散的知識得到串聯，易于理解和記憶。

四、進行題型的分類和歸納

為提高學生的解題能力，改變解題無從下手的情況，考慮到不少概念、結論和方法在某些方面是類似相近但又互有差別，可對概率論與數理統計課中的基本題型進行分類和歸納，指出每類題型的特點和所應用的基本公式。比如，以下是隨機變量與二維隨機向量部分的一些常見題型：

1.分布函數、分布密度、分布列中未知常數的確定；

2.結合古典概型的知識求分布列（最后得到一、二維表格）；

3.由分布函數求分布列、分布密度；

4.由分布列、分布密度求分布函數；

5.求隨機變量落入某區間或隨機點（二維隨機向量）落入某區域的概率；

6.分別由聯合分布函數、聯合分布列、聯合分布密度求邊際分布函數、邊際分布列、邊際分布密度；

7.隨機變量相互獨立的判定和應用隨機變量相互獨立求得聯合分布函數、聯合分布列、聯合分布密度。

以分布函數、分布密度、分布列中未知常數的確定為例，未知常數的確定通常是由相應概念的性質和原題所給的條件解方程或方程組，如分布函數中的未知常數一般是由分布函數在正、負無窮處的極限和分布函數在分段點處的右連續性求得；分布列、分布密度、聯合分布列、聯合分布密度中有一個未知常數時，一般可分別由公式

■pk=1，■f（x）dx=1，■ ■pij=1，■■f（x，y）dxdy=1 解方程而求得，當有多個未知常數時，上述公式往往是方程組中必然成立的一個方程。

課程中的每一部分均可以歸納出常見題型，其解題方法的規律性很強，可將常見題型應用的公式、方法和基本規律列成表格，也可引導學生自己完成這一工作，這將有利于學生對知識的融會貫通，從解題的角度復習已學全部知識，進一步促使知識在學生的大腦中形成知識網絡。

總之，教學的實踐表明淡化數學推導并講好思想方法、理論聯系實際和注重實踐教學、注意運用類比和比較的教學方法以及進行題型的分類和歸納是提高概率論與數理統計教學效果的良好辦法。只要充分調動學生的學習積極性，積極探索適合學生特點的教學方法，就一定能夠幫助學生克服學習中的畏難情緒，使教學收到更好的效果。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 周新全.《概率論與數理統計》教學改革探討[J].咸陽師范專科學校學報，2000，15（3）：68-69.

[2] 金大永，徐勇.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2011.

[3] 丁雪梅.七星彩的中獎概率問題[J].科技信息，2009，（8）：422.

[責任編輯：左 蕓]