用歷史視角指導微積分教學

[摘 要]基于歷史視角，反思傳統的微積分教材設計和教學對學生學習的影響，在課程知識結構、教學知識內容呈現順序、形式化與概念本質、直觀與嚴謹等方面進行思考，以期對學生在概念、方法的深入理解和持久保持有積極意義。既要從直觀的事例中抽象出一般化（嚴謹）的數學語言，也要從形式化的表述中提取出所蘊涵的直觀信息，促進學生對數學知識的深入理解和持久保持。

[關鍵詞]微積分 教學 數學史

[中圖分類號] G427 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2013）21-0061-02

“大學有棵樹，叫高數，很多人都掛在上面”。這是網上的一句調侃，但也道出了某些學生的心聲。我們自然要問，是什么原因導致此現象的發生？作為學習共同體的三方：學生、教材和教師，是學生的數學基礎、學習方法、學習態度呢？或是教材編寫問題？還是教師的教學方式方法等，抑或是上述幾個方面的綜合所致？要清楚回答這個并非易事。常言道，“歷史是教學的指南”，本文嘗試從歷史的角度展開討論。

一、知識內容的呈現順序

（一）歷史回顧

隨著微積分的創立，它既顯現出廣泛和驚人的應用性，又極大地促進了數學的繁榮與發展。與此同時，數學邏輯上的混亂與悖論的產生，導致了第二次數學危機的爆發。為了消除危機，幾代數學家為此付出長期、艱辛的努力。第一個為補救第二次危機提出真正有見地的意見的是J.達蘭貝爾，他在1754年指出：必須用無可指責的可靠的理論來代替當前使用的粗糙的極限理論，但是他本人未能提供這個理論。多產的法國數學家柯西于1821年在此問題上跨出了很大一步，他成功地接受了達蘭貝爾的挑戰：發展了一種可接受的極限理論（接近于現在初等微積分課本中的極限描述性概念），然后用極限概念定義連續性、微分和定積分，進而解除了數學危機。[1]

（二）從教材中知識內容的呈現順序反觀教材中知識內容的呈現順序

這里有幾個問題需要我們更為深入的思索。

1.教材的編寫有其固有的特點。用線性方式呈現知識內容，且要遵循數學知識的邏輯體系，這種敘寫方式容易掩蓋數學知識結構的本來面目，而解決這一問題的最好方法就是從數學發展歷史中尋找答案。歷史告訴我們，在數學危機消除的同時，也凸顯出微積分核心概念間關系的框架結構：即以極限概念為基礎，以此分別獨立地定義連續、導數、定積分、收斂，因而，極限概念將貫穿于微積分課程學習的始終。這樣的梳理有助于學生從宏觀上把握這門學科的核心概念間的相互關系，為后繼學習形成正確的認知結構打下伏筆，同時也讓學生明白，后繼學習就是依照這樣的結構方式展開的。

2.極限概念的核心地位。教學內容的順序與數學歷史的發展順序相反的現象，在數學其他內容的教學中也屢見不鮮。教學中我們應該讓學生清楚地知道，作為最后才建立起來的極限概念為什么成為學習本門知識的先導，它在微積分課程中處于什么樣的位置等等。

概念抽象前的情境創設是極其重要的，它直接影響著學生學習的目的性及后繼學習對概念的深入理解和持久保持。現有的《高等數學》教材通常先學習數列極限概念，導入的情境大多選取古代的典型例子，如我國古代數學家劉徽的割圓術等。[2]而到函數概念學習時，更多地僅從函數數值變化的角度來實施。這樣做有其積極的一面，但卻掩蓋了其在微積分中的核心地位。要改變這種現狀，就離不開與歷史發展事實的有效整合。

3.不定積分與定積分的教學順序。教材從導數逆運算即原函數角度（“互逆運算”關系）提出不定積分概念，這是從純數學研究的角度出發提出新的概念，也無不可。但在教學實踐中，我們發現，這樣的學習驅動存在如下幾個問題：

（3）這樣的導入之所以難于讓學生信服，在于它掩蓋了不定積分概念研究的另一個重要目標指向——服務于定積分的計算。

導致無法回答這一系列問題的根本原因，在于我們顛倒了教學順序。因此，我們認為，知識呈現的順序，應當先從定積分概念入手，到學完微積分學基本定理以后可發現，定積分的計算可以劃歸為不定積分問題的研究。實驗表明，這樣做自然合理，與歷史發展的順序相吻，符合學生的認知規律，上述難題也可以輕松獲得答案。

二、輕形式重實質

（一）極限

幾乎所有的《高等數學》教科書均采用“ε—δ”語言（于19世紀末由維爾斯特拉斯提出）定義函數極限概念。這樣的量化定義一絲不茍，嚴絲合縫，但又有多少學生能夠從中去理解和把握住概念的本質呢？定義中所包含的多重邏輯層次，往往給學生的學習帶來極大的障礙。而極限的描述性概念（柯西定義）更符合學生的認知規律。一方面，只需借助（函）數值的變化和幾何直觀引入極限概念，學生容易接受；另一方面，這種描述方法并不會對后繼學習造成不利影響（數學發展的歷史可以佐證），因為我們的教學對象并非純粹數學專業的學生，他們沒有必要完全從公理化的方法中去學習數學，更多地應該汲取數學研究者所獲得的數學思想與方法，進而應用于他們所學習研究的范疇。

（二）定積分

教材從區間的分劃（無窮多種）、取介點集（無窮多種）、作（黎曼）和、取極限（極其復雜的表達式）等四個環節定義定積分概念，[3]這是數學定義所展現的嚴謹化、符號化、形式化的典型之一，完全可以說是一種“冰冷的美麗”。學生往往一頭霧水，難以理解為什么要這樣下定義？它想揭示什么？有什么意義？其實，歷史上，牛頓和萊布尼茨的定積分概念遠沒有如此精確、嚴謹和抽象，但卻能實現其廣泛的應用，并促進數學的繁榮與發展。因而，我們應該透過其形式化的表象去把握概念的本質。為此，離不開對具體事例的研究與抽象：例如以曲邊梯形面積問題（化曲為直）、質點沿直線變速運動的路程問題（化變速為勻速）、已知的立體體積等大量的直觀材料為抓手，深入探究，從一三、依托直觀與適度嚴謹

數學的發展往往遵循這樣的路徑：先直觀，后嚴謹。所謂大膽猜測，小心求證，微積分的發展歷史清楚地表明了這一點。下面的例子會給我們很好的啟示。

（一）導數

（二）連續函數性質

微積分的基礎，就是連續函數和函數導數。直觀上，連續函數可用一條不間斷畫出的連續曲線來表示。而函數導數的幾何意義就是曲線上對應點處切線的斜率。直到19世紀，數學家們還認為，連續函數應在任何一點（除個別點外）都有導數存在。然而，1872年維爾斯特拉斯給出了一個處處連續又處處不可微的函數，這與人們的直觀想象完全背離，其歷史意義是巨大的。

（三）無限求和

牛頓以直觀的方法獲得正確的結果，維爾斯特拉斯以嚴謹的方式否定了直觀的判斷，格蘭迪求和問題顯示，從有限到無限遠非想象中的可以進行簡單的類比。這些典型案例告訴我們，微積分教學需要嚴謹的邏輯支撐，但歷史和學習心理也表明，直觀是獲得概念和方法的重要手段。數學的深刻和抽象實際上孕育在具體和直觀中。英國數學家阿蒂亞爵士說，一個新思想最有意義的部分，常常不在那些深刻定理之中，而往往寓于最簡單的例子、最樸素的想法，以及最初的一些結果。因而，我們要從直觀的事例中抽象出一般化（嚴謹）的數學語言，也要從形式化的表述中提取出所蘊涵的直觀信息，以促進學生對數學知識的深入理解和持久保持。

[ 參 考 文 獻 ]

[1][4][5]歐陽絳，趙衛江等譯.數學史上的里程碑[M].北京：北京科學技術出版社，1990：346，343，345.

[2][3]同濟大學應用數學系.高等數學（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2002：23，225-226.

[責任編輯：林志恒]