一元函數極限的求法和技巧

在高等數學中，極限有著重要的作用。如函數的連續性、導數和微積分的定義和應用等都和極限有著密不可分的關系。在現實生活中也有許多實際問題是用了極限的方法才得以解決的，如求曲邊梯形的面積、曲線弧長、瞬時速度等。因此，掌握好極限的求法是學習微積分的關鍵，本文深入地闡述了一元函數極限的求法和技巧。

一 極限的定義

設函數f（x）在點x0的左、右近旁有定義（點x0可以除外），如果當x→x0時，函數f（x）無限接近于一個確定的常

數A，那么A叫做函數f（x）當x→x0時的極限，記作 f（x）

=A或f（x）→A（x→x0）。

二 運用極限的運算法則求極限

定理1：已知 f（x）=A， g（x）=B，則有下列

法則：（1） [f（x）±g（x）]=A±B；（2） f（x）·g

（x）=A·B；（3） （此時需B≠0成立）。

三 極限的求法和技巧

1.約去零因子求極限

例1：求 。

解：因為 ，所以不能直接應用法則3，因而

在分式中可約去非零公因子。即：

2.分子分母同除以最高次冪

例2：求 。

若分子分母都以多項式形式出現且為 型，可通過這種

方法來求解： 。

3.應用兩個重要極限求極限

例3： 。

注：兩個重要極限是 和

。

4.用等價無窮小量代換求極限

例4： 。

常見等價無窮小有：當x→0，x～sin x～tan x～arcsin x～

arctan x～ln（1+x）～ex-1，1-cosx～ 。

5.用羅必塔法則求極限

例5：求極限 。

解：

。

注： 或 型的極限，可通過羅必塔法則來求。許多變

動上限積分表示的極限，常用羅必塔法則求解。

例6：求極限 。

解： 。

注：此題為一個0·∞型的極限，用恒等變形

將它轉化為 型不定式極限，并應用羅必塔法則。

6.用泰勒展開式求極限

例7：求極限 （a>0）。

解：

∴

常用的泰勒展開式有： ，

，

，sinx=x- 。

四 結束語

在近代數學中，極限思想貫穿于微積分學的始終，是一種重要的數學思想，更準確地說微積分學的所有定義和概念都離不開極限。本文主要介紹了有關極限的概念及性質，通過例題對有關一元函數的極限求解問題進行了分類總結。我們發現計算極限的方法多種多樣，并且技巧性都很強。因此，本文通過例題講解以幫助學生更深刻地了解極限的概念并熟練掌握求極限的方法。

參考文獻

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2001

[2]張敏捷.函數極限的幾種特殊求法[J].黃石理工學院學報，2008（24）：56～58

〔責任編輯：龐遠燕〕