如何用同一法做幾何證明題

在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，幾何證明題是較難逾越的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，而幾何證明題的重點(diǎn)突破口又是題目的分析方法，所以掌握一定的幾何證明題的分析方法顯得尤為重要。中學(xué)幾何題證明方法一般分為直接證明和間接證明兩種，有些題目如果直接去證明，不但關(guān)系復(fù)雜，而且思路繁瑣。在應(yīng)試的過(guò)程中很難在較短的時(shí)間內(nèi)解決問(wèn)題，但當(dāng)你換一種思路，用間接的方法去考慮，往往能夠達(dá)到意想不到的效果。間接的證明方法一般又分為兩種：一種是反證法，另一種稱為同一法（又稱統(tǒng)一法），兩種方法各不相同。反證法在教科書(shū)中有較為完整的學(xué)習(xí)體系，而同一法卻沒(méi)有給出明確概念和用法，但教科書(shū)中的例題卻能經(jīng)常用到同一法，現(xiàn)就同一法的用法做簡(jiǎn)單概括說(shuō)明。

要想用好同一法，就必須先對(duì)同一法有較為明確的概念區(qū)分，雖然學(xué)界對(duì)同一法一直存在爭(zhēng)議，但王學(xué)賢老師曾用集合的觀點(diǎn)很好地解釋過(guò)同一法的實(shí)質(zhì)，大致內(nèi)容是：每一個(gè)數(shù)學(xué)命題都是由條件和結(jié)論兩部分構(gòu)成的，一般的命題可以描述為如果（若）某些對(duì)象具有某種性質(zhì)a，那么（則）它們就具有某種性質(zhì)b，在這里，條件是“某些對(duì)象具有性質(zhì)a”，結(jié)論是“它們具有性質(zhì)b”，如果把具有性質(zhì)a的對(duì)象集合記作A，把具有性質(zhì)b的對(duì)象集合記作B，把某些對(duì)象中任一對(duì)象記作x，則x∈A。若原命題是真命題，則x∈B。因此，命題用集合描述就是：A是B的子集，即A B。同樣，其逆命題就是B A。顯然A不一定等于B，即原命題成立，逆命題不一定成立，但當(dāng)集合A僅含有一個(gè)元素m，集合B也僅含有一個(gè)元素n時(shí)，A=B，此時(shí)，原命題成立，其逆命題也必然成立。因此，得到下述基本原理：如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論所指的對(duì)象都唯一存在時(shí)，則原命題、逆命題等價(jià)，這個(gè)基本原理叫做同一原理。例如“等腰三角形頂角的平分線是底邊的中垂線”就符合同一原理。當(dāng)一個(gè)命題符合同一原理，且直接證明比較困難時(shí)，可轉(zhuǎn)而證明它的逆命題，這種證明方法就是同一法。具體的做法是：欲讓某個(gè)圖形A具有某種性質(zhì)B時(shí)，先構(gòu)造一個(gè)具有性質(zhì)B的圖形A′，然后證明圖形A′就是圖形A，實(shí)質(zhì)上是用證明逆命題來(lái)間接證明原命題的正確。下面通過(guò)幾個(gè)例題更加清楚地來(lái)認(rèn)識(shí)同一法。

例1：如圖1所示，E是正方形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，∠ECD=∠EDC=15°。求證：△EAB是等邊三角形。

分析：因?yàn)樵谡叫蜛BCD內(nèi)部使得∠ECD=∠EDC=15°的點(diǎn)唯一存在。同樣，在正方形ABCD內(nèi)部以AB為邊的等邊三角形也唯一存在，因此，此題符合同一原理，可以用同一法來(lái)證明。

證明：以AB為邊，在正方形ABCD內(nèi)作等邊三角形E′AB，連接E′C、E′D。

∵E′A=E′B=AB=DA=CB。

∴∠CBE′=90°-60°=30°，∠BCE′=（180°-30°）÷2=75°。

∴∠E′CD=90°-75°=15°。

由此可見(jiàn)，E′和E實(shí)際上是同一點(diǎn)，故△EAB是等邊三角形。

例2：如果一條直線截三角形的兩邊所得的線段對(duì)應(yīng)成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

分析：如圖2所示，在△ABC中，若AB邊上D點(diǎn)確

定，則在AC邊上滿足 的E點(diǎn)唯一確定，從而DE

也唯一確定，另一方面，過(guò)D點(diǎn)平行于BC邊的平行線唯一存在，因此此題符合同一原理，可先作DE′∥BC，然后證明DE′和DE重合即可。

證明：過(guò)D作DE′∥BC，交AC于E′。

在△ABC中，∵DE′∥BC，∴ 。

又 ，∴ ，則 。

即 ，∴AE′=AE。

故E′和E重合，DE′和DE重合。

∵DE′∥BC，∴DE∥BC。

例3：如圖3所示，梯形ABCD中，AD∥BC，AD+BC=AB，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)。求證：∠DAB的平分線過(guò)點(diǎn)F。

分析：只要連接AF，證明AF平分∠DAB，或作∠DAB的平分線于DC相交于點(diǎn)F，證明F是DC的中點(diǎn)即可。

證明：連接AF并延長(zhǎng)與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E。

∵梯形ABCD，∴AD∥BC，∠D=∠ECF。

又∵∠AFD=∠EFC，DF=CF。∴△ADF≌△ECF，∠E=∠DAF，AD=CE，即BE=BC+CE=BC+AD。

又∵AD+BC=AB。∴AB=BE，∠E=∠BAE，∠DAF=∠BAE，即AE平分∠BAD。

又∵AE過(guò)F點(diǎn)，∴∠DAB的平分線過(guò)點(diǎn)F。

例4：如圖4所示，在三角形ABC中，M為線段AB

的中點(diǎn)，D為AB上的另一點(diǎn)，連接CD，N為CD的中點(diǎn)，P為BC的中點(diǎn)，連接MN，Q為MN的中點(diǎn)，試證明直線PQ平分線段AD。

分析：因?yàn)檫^(guò)P、Q兩點(diǎn)的直線與AD的交點(diǎn)和AD的中點(diǎn)都唯一存在，所以題目符合同一原理，若直接證明，因關(guān)系復(fù)雜難以證明，因此可采用同一法證明，欲證直線PQ平分AD，可先取AD的中點(diǎn)為E，然后證明P、Q、E三點(diǎn)共線即可。

證明：取AD的中點(diǎn)為E，連接NE、PM、NP。

∵AE=ED，DN=NC。

∴EN∥AC且EN= AC。

同理可證，PM∥AC且PM= AC。

∴EN∥PM且EN=PM，四邊形PNEM為平行四邊形。

連結(jié)PE，因?yàn)镼是MN的中點(diǎn)，所以對(duì)角線PE必過(guò)Q點(diǎn)，即P、Q、E三點(diǎn)共線。

∴直接PQ必平分AC。

通過(guò)上面幾個(gè)例題中可以看出，要想能夠正確快捷地利用同一法解決幾何題，首先要能夠快速地判斷出題目是否符合同一原理，只有在符合同一原理的情況下才能夠運(yùn)用此法。實(shí)際上，同一法的根據(jù)是原命題和逆命題等價(jià)，通過(guò)證明逆命題正確來(lái)判定原命題正確，這一點(diǎn)要與反證法注意區(qū)分開(kāi)。任何命題的原命題與逆否命題都是等價(jià)的，而反證法是通過(guò)證明逆命題的正確來(lái)判斷原命題的正確，所以從理論上講，任何命題都可以用反證法來(lái)證，能用同一法證明的題目都可用反證法證，而同一法只適用于一些特殊命題的證明。

〔責(zé)任編輯：駱虢〕