復變函數與數學分析之間的相互應用

【摘 要】本文從兩方面討論了復變函數與數學分析之間的一些相互應用。一方面是數學分析在復變函數中的應用，主要介紹了在連續性、可微性和可積性中的應用；另一方面是復變函數在數學分析中的應用，主要介紹了利用留數計算一些實積分。

【關鍵詞】復變函數 數學分析 應用

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2013）22-0097-02

復變函數是數學分析的一門后續課，數學分析是在實數域上建立起來的一門學科，而復變函數是在復數域上來研究一些相關問題而產生的。雖然這兩門學科研究的數域不同，但它們具有一些相同的定理和性質，在許多定義上也是相同的。從而這兩門學科之間存在著密不可分的聯系，其中一個重要的聯系是兩者之間有一定的相互應用關系。下面從兩個方面談談復變函數與數學分析之間的一些具體相互應用。

一 數學分析在復變函數中的應用

由復變函數的定義可知，一個復變函數實際上是由兩個二元實函數所確定的，即對任意在定義域內的z=x+yi，f（z）=u（x，y）+iv（x，y），其中x，y，u，v都為實數。因此研究復變函數的一些性質可以通過研究這兩個二元實函數來解決。下面主要介紹數學分析知識在復變函數的連續性、可微性和可積性三方面的應用。

1.在連續性中的應用

定義：設函數f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在集E上

確定，并且集E的聚點z0∈E，如果 ，則f（z）

在點z0連續。

由于 =f（z0）=u

（x0，y0）+iv（x0，y0），所以可由二元實函數u（x，y）和v（x，y）在點（x0，y0）處的連續性判斷f（z）在點z0的連續性。

例1：判斷f（z）=Rez在z=1+i點處的連續性。

解：令z=x+yi，則f（z）=Rez=x，即u（x，y）=x，v（x，y）=0。

因此有 f（1+i），所以f（z）=

Rez在z=1+i點處連續。

2.在可微性中的應用

在復變函數和數學分析中可微的定義是相同的，由它們的定義可得下面的定理。

定理1：設函數f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在區域D內確定，那么f（z）在點z=x+yi∈D可微的充要條件是：在點（x，y）處u（x，y）和v（x，y）可微，并且滿足柯西

黎曼條件 ， 。

例2：判斷函數f（z）=z2的可微性。

解：f（z）=z2=（x+yi）2=x2-y2+2xyi，因此有u

（x，y）=x2-y2，v（x，y）=2xy， ， ，

由u（x，y）和v（x，y）在R2平面上處處可微，并且滿足柯西黎曼條件，可得函數f（z）=z2在復平面C上處處可微。

3.在可積性中的應用

由復變函數的積分定義可知：

dx+u

（x，y）dy，從而可以通過計算二元實函數的第二型曲線積分來計算復變函數的積分。

例3：計算積分 ，其中L為單位圓取逆時針方向。

解：由f（z）=Rez=x可得u（x，y）=x，v（x，y）

=0，因為L為單位圓取逆時針方向，所以可令 ，

0≤θ≤2π，

。

二 復變函數在數學分析中的應用

由于不是所有可積函數都可求出其原函數，因此在數學分析中要求出一些積分值是很困難的。而其中有一些積分可利用復變函數的留數知識來計算。下面介紹利用留數計算三種類型的實積分。

1.計算 型積分

在該類積分中令z=eit，則 ，sin t ，dt

，因此 。

例4：計算積分 ，其中常數a>1。

解：令z=eit，則sin t ， ，代入積分得I=

。

2.計算 型積分

定理2：設 為有理函數，其中P（z）=c0zm

+c1zm-1+…+cm（c≠0），Q（z）=b0zn+b1zn-1+…+bn（b≠0）為互質多項式，且符合條件：（1）n-m≥2；（2）在實

軸上Q（z）≠0，于是有

es（f（z）zk）。

例5：計算積分 。

解：令 ，則P（z）=1，Q（z）=（1+z2）2，滿足定理2的條件，從而有

。

3.計算 型積分

定理3：設 為有理函數，其中P（z）、Q（z）

為互質多項式，且符合條件：（1）Q（z）的次數比P（z）的

次數高；（2）在實軸上Q（z）≠0，于是有

。

例6：計算積分 。

解：由eix=cosx+isinx可得cosx為eix的實部，則I為

dx的實部。

因為 ，所以

。

參考文獻

[1]余家榮.復變函數（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010

[2]鐘玉泉.復變函數論（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1979

[3]華東師范大學數學系.數學分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001

〔責任編輯：龐遠燕〕