第一積分中值定理在數(shù)學(xué)物理方程中的應(yīng)用

【摘 要】積分中值定理在一般的教材中講述得比較簡略，其推廣形式幾乎沒有提及。本文將對第一積分中值定理進(jìn)行推廣和總結(jié)，找出積分中值定理在數(shù)學(xué)物理方程中的應(yīng)用，希望讀者能夠通過這篇論文對第一積分中值定理有進(jìn)一步的認(rèn)識。

【關(guān)鍵詞】第一積分中值定理 推廣 應(yīng)用

【中圖分類號】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674-4810（2013）22-0092-01

一 第一積分中值定理及其推廣

定理：若f（x）在[a，b]上連續(xù)有界，g（x）在[a，

b]上可積且不變號，則存在一點(diǎn) ∈[a，b]，使得 f（x）

g（x）dx=f（ ） （x）dx。

推論：若f（x）在[a，b]上連續(xù)，則存在一點(diǎn) ∈[a，

b]，使得 dx=f（ ）（b-a）。

推廣：若f（x）在[a，b]上可積且有原函數(shù)，g（x）在[a，b]上可積且不變號，則存在一點(diǎn) ∈[a，b]，使

得 （x）g（x）dx=f（ ） （x）dx。

二 第一積分中值定理在數(shù)學(xué)物理方程中的應(yīng)用

1.弦振動(dòng)方程的推導(dǎo)

在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)條件下，由牛頓第二定律知，弦段（x1，x2）的動(dòng)量沿u軸的支量在△t=t2-t1的時(shí)間段內(nèi)的變化等

于 （ut（x，t2）-ut（x，t1））ρ（x）dx，使這動(dòng)量的變化等

于作用力的沖量，這作用力是在點(diǎn)x1及點(diǎn)x2的張力T0ux與所有外力的總和，假定這些外力是連續(xù)分布的，其密度按單位長度上的載荷計(jì)算，記為f（x，t）。因此就得到弦振動(dòng)方程的

積分形式： ρ

- ，為了得到微分方程，假

設(shè)u（x，t）的二階偏導(dǎo)數(shù)存在而且連續(xù)，于是對上式分別應(yīng)用積分中值定理和微分中值定理就得到下面的形式： △x△t △x△t，其中x*，x**，x***∈（x1，x2），t*，t**，t***∈（t1，t2），兩邊消去△x△t，并求出當(dāng)x2→x1，t2→t1時(shí)的極限，就得到了弦振動(dòng)方程的微分方程：Tuxx=ρuu-f（x，t）。

2.熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)

在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下，由福利萊定律知，在一段時(shí)間（t1，t2）

內(nèi)桿的一段（x1，x2）吸收的熱量為

。要使（x1，x2）段在（t1，t2）溫度變化為

△u=u（x，t2）-u（x，t1），必須供給它的熱量為

，然而桿的內(nèi)部也可能產(chǎn)生或消耗熱量，設(shè)在點(diǎn)x處及t的熱源密度為F（x，t），那么在（x1，x2）

段上的熱源在（t1，t2）內(nèi)作用生出的熱量為 t）

dxdt。那么熱傳導(dǎo)方程可由計(jì)算某段（x1，x2）在某段時(shí)間

（t1，t2）內(nèi)的熱衡消而得到，應(yīng)用能量守恒定律就可以寫出

熱傳導(dǎo)方程的積分形式：

（x，t）dxdt= 。

為了得到微分形式的熱傳導(dǎo)方程，假設(shè)u（x，t）有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)，利用第一積分中值定理就可以得到：

△t+F（x4，t4）△x

△t= △x。

再由微分中值定理得： △x△t+F

（x4，t4）△x△t= △x△t。其中t3，t4，t5

∈（t1，t2），x3，x4，x5∈（x1，x2），這樣兩邊消去△x△t并

且取x1，x2→x，t1，t2→t時(shí)的極限，就可以得到方程 +

，即熱傳導(dǎo)方程的微分形式。

第一積分中值定理在微分學(xué)中還有許多應(yīng)用，如在第一類曲線積分的計(jì)算公式的推導(dǎo)，化第一類曲面積分為二重積分的推導(dǎo)，以及格林公式的推導(dǎo)中都有積分中值定理的應(yīng)用。另外，第一積分中值定理在后續(xù)課程中也有不少的應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)

[1]關(guān)若鋒.積分中值定理的推廣[J].廣州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2004（6）

[2]A.H.吉洪諾夫、A.A.撒馬爾斯基.數(shù)學(xué)物理方程（上冊）（黃可歐等譯）[M].北京：人民教育出版社，1956

〔責(zé)任編輯：龐遠(yuǎn)燕〕