淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想的滲透與例舉

摘 要 本文對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的主要數(shù)學(xué)思想進(jìn)行了分析，并通過(guò)舉例的方式，對(duì)各種主要數(shù)學(xué)思想進(jìn)行了解釋。以此希望引起教師們?cè)诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)方法方面的重視，將數(shù)學(xué)思想在課堂教學(xué)中進(jìn)行滲透和應(yīng)用。

關(guān)鍵詞 初中 數(shù)學(xué)教學(xué) 數(shù)學(xué)思想

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想在課堂教學(xué)中的滲透和應(yīng)用必須掌握和采取正確的教學(xué)方法。本文僅就常見的幾種方法進(jìn)行說(shuō)明和例舉，主要包括化歸、數(shù)形結(jié)合、類比、分類討論、函數(shù)與方程等思想。

1 化歸思想

化歸思想，是使用手段變換或轉(zhuǎn)化有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法。化歸思想的使用和應(yīng)用方法主要有配方法、整體代入法和待定系數(shù)法，以及由抽象到具體和化動(dòng)為靜等轉(zhuǎn)化思想。化歸思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中到處可見：有理數(shù)的運(yùn)算是四則運(yùn)算的拓展，分式方程、高次方程是一元一次方程的拓展等等。由于這種格式內(nèi)在的聯(lián)系，因此我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)要進(jìn)行化歸思想的引導(dǎo)。比如無(wú)理方程本質(zhì)就是對(duì)簡(jiǎn)單方程的化歸，途徑就是去分母、兩邊同時(shí)平方或設(shè)未知數(shù)換元等。

示例：已知2+1=0，求3+22+2008的值。分析：此題通過(guò)“化零散為整體”或利用降次來(lái)轉(zhuǎn)化，可使問(wèn)題得以解決。解：∵2+1=0，∴2=1，∴3+22+2008=（1）+2（1）+2008=2+2010=（+1）+2009=2009。

2 分類討論思想

分類討論的思想，是在一個(gè)問(wèn)題存在多種可能情況下，而各種可能引起問(wèn)題有不同的結(jié)果時(shí)，這時(shí)就需要對(duì)多種可能情況進(jìn)行討論，逐個(gè)分析其不同的結(jié)果。例如，函數(shù)的不同取值，有理數(shù)的分類，絕對(duì)值的分類等等，都需要進(jìn)行分類討論，分析不同情況下的不同結(jié)果。分類討論是初中數(shù)學(xué)中一個(gè)重要思想，關(guān)鍵點(diǎn)在于教會(huì)學(xué)生準(zhǔn)確把握恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)。

示例：有一個(gè)直角三角形，其中兩條邊長(zhǎng)分別為3和4，則這個(gè)三角形的外接圓半徑等于多少。分析：這是一道典型的基礎(chǔ)分類討論題，討論的關(guān)鍵點(diǎn)是條件中的所給出的兩條邊長(zhǎng)都是直角邊，還是有一條是直角邊。解①：當(dāng)3和4為直角三角形的兩條直角邊時(shí)，斜邊長(zhǎng)為5，此時(shí)這個(gè)三角形的外接圓半徑等于1/2€？=2.5。②當(dāng)3是這個(gè)三角形其中的一條直角邊，4是斜邊時(shí)，此時(shí)這個(gè)三角形的外接圓半徑等于1/2€？=2。

3 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合就是將抽象的數(shù)學(xué)中的語(yǔ)言，數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系和直觀的幾何圖形與位置關(guān)系相互結(jié)合，將抽象思維與形象思維相結(jié)合，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，將抽象的問(wèn)題具體化，以達(dá)到將解題途徑優(yōu)化的目的。初中數(shù)學(xué)涉及到的數(shù)形結(jié)合思想，主要有三種類型：以“數(shù)”化“形”、以“形”變“數(shù)”和“數(shù)”“形”結(jié)合。比如，我們可以通過(guò)將數(shù)軸和數(shù)結(jié)合起來(lái)，通過(guò)數(shù)軸反應(yīng)相反數(shù)的概念和絕對(duì)值的概念，學(xué)生在這種直觀的圖像的幫助下掌握有理數(shù)大小的比較方法，以及有理數(shù)加、減法的意義等。

示例：二次函數(shù) = 2 + + 與軸交點(diǎn)間的距離等于4，對(duì)稱軸為 = 1，且++=-8，求函數(shù)解析式。分析：此題與函數(shù)有關(guān)，可以將函數(shù)的解析式和圖象放在一起結(jié)合思考，效果會(huì)事半功倍。解：∵函數(shù) = 2 + + 與 軸交點(diǎn)間的距離等于4，對(duì)稱軸為 = 1，∴此函數(shù)與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為A（-1，0）、B（3，0）。∴設(shè)該二次函數(shù)的解析式為 = （ +1）（），即 =223，∵++=-8∴ = -2， = -3， ∴2 3 = -8，∴ = 2，∴此二次函數(shù)的解析式為=2246。

4 類比思想

類比思想是利用兩類數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性，把已知的一類數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)遷移到另一類數(shù)學(xué)對(duì)象上去的思想。類比思想簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和數(shù)學(xué)公式的記憶，還可以在教授新知識(shí)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生將新舊的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行比較，從而使新知識(shí)易于理解和掌握。比如，在初中一元一次不等式的教學(xué)中，我們可以引導(dǎo)學(xué)生將一元一次不等式與一元一次方程進(jìn)行類比，找出它們的差異和共同點(diǎn)，在理解和掌握一元一次方程解法的基礎(chǔ)上，理解和掌握一元一次不等式的解法。其中的關(guān)鍵點(diǎn)是模仿一元一次方程式解法，但又重視兩者差異。引入這種類比思想的教學(xué)，將會(huì)使學(xué)生很快掌握一元一次不等式的內(nèi)容，提高解題能力。

示例：已知二次函數(shù) = 2+（）（>0），證明：此二次函數(shù)的圖象與軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)。分析：一元二次方程2++=0與拋物線 = 2++聯(lián)系密切，將兩者進(jìn)行類比。當(dāng)拋物線 = 2++與軸相交， = 0，方程2++ = 0有實(shí)數(shù)根，此時(shí)拋物線與軸的交點(diǎn)就是方程2++ = 0的根。證明：如果△>0，則拋物線與x 軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。△=（）2（3）=（）2。∵>0，∴△>0，∴圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)。

5 函數(shù)與方程思想

函數(shù)思想就是采用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化和解決的一種思維模式。由于函數(shù)描述了各種數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想就是通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而對(duì)各種數(shù)量關(guān)系進(jìn)行研究。方程的思想是用方程的形式解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。一般是首先分析各變量之間的數(shù)量關(guān)系，然后構(gòu)建方程或者方程組，之后通過(guò)解方程或者解方程組的形式，得出各變量之間的確定的關(guān)系。函數(shù)和方程思想，是聯(lián)系較為密切的兩種數(shù)學(xué)思想，因此也一般放在一起討論。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，主要是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)或者方程，并利用函數(shù)或者方程的性質(zhì)進(jìn)行解題。

示例：（1）當(dāng) = -3/4時(shí)， = -4，求反比例函數(shù) = 的解析式。（2）若（1）反比例函數(shù) = 與一次函數(shù) = 有交點(diǎn)，求的取值范圍。分析：第一個(gè)問(wèn)題的解法比較容易，將數(shù)值代入函數(shù)即可。第二個(gè)問(wèn)題求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，就是將兩個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程組并找出交點(diǎn)坐標(biāo)。圖象的交點(diǎn)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上體現(xiàn)了函數(shù)和方程的思想，即討論方程組的解的問(wèn)題。解：（1）由題意得： = 3，函數(shù)的解析式為 =3/。（2）∵ =是一次函數(shù)，∴≠0，由 =， =3/得到：2=0，圖象有交點(diǎn)，所以一元二次方程有實(shí)數(shù)根，即△=（-2）（3）≥0。解為：≥-1/3，∵ =是一次函數(shù)，∴≠0，∴的取值范圍是≥-1/3且b≠0。

數(shù)學(xué)思想是提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和解題能力的關(guān)鍵。在本文中，只是對(duì)初中數(shù)學(xué)常見的幾種數(shù)學(xué)思想進(jìn)行了分析和舉例。我們?cè)诔踔袛?shù)學(xué)的教學(xué)方法上，應(yīng)有所側(cè)重并刻意進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的提煉和滲透，將數(shù)學(xué)思想反復(fù)教學(xué)和概括，并不斷應(yīng)用于教學(xué)和解題當(dāng)中，讓學(xué)生能有明確的認(rèn)知并在潛移默化中能加以運(yùn)用。

參考文獻(xiàn)

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