探討定積分等式的證明方法

摘 要 本文歸納了定積分等式的證明方法，并詳細介紹了定積分等式的證明步驟，且通過例題作了具體說明。

關鍵詞 定積分等式 輔助函數 高等數學

中圖分類號：O172.2 文獻標識碼：A

證明定積分與等式常用的方法有換元法、分部積分法、構造函數法、泰勒公式法。

1 換元法（適用于被積函數或其主要部分僅給出連續條件的命題）

方法：

（1）依據定積分與積分變量無關的性質，改寫等式一端的積分變量為；

（2）作變量代換。若等式一端的被積函數或其主要部分為 （），而另一端為 （（）），則作代換 = （）；若等式一端為 （），另一端為 （），則所作代換依據等式兩端的積分限；

（3）利用所作代換，由等式一端導出另一端。

2 構造輔助函數法（適用于證明在積分限中至少存在一點或，使等式成立的命題）

方法：

（1）將或改成，移項使等式一端為零，則另一端即為所作的輔助函數（）或（）；

（2）驗證（）滿足介值定理或微分中值定理的條件；

（3）由介值或微分中值定理，即可證得命題。

參考文獻

[1] 同濟大學應用數學系.高等數學（第5版）[M].北京：高等教育出版社，2000.

[2] 許艾珍.高等數學應用教程[M].航空工業出版社，2010.