變系數二階線性微分方程的求解探析

摘 要 變系數二階線性微分方程是大學數學學習的重要內容，本文對變系數二階線性微分方程的解法進行探究，得到了幾種求解方法。筆者通過求解該類方程的過程，以進一步指導大學數學教育的進步。

關鍵詞 變系數二階線性微分方程 解法 常數變易法

中圖分類號：O175.1 文獻標識碼：A

變系數二階線性微分方程的解法是大學數學學習的重要內容，既是重點，也是難點，掌握此類方程的解法是學習者應有的能力。筆者根據自己的知識水平，首先對變系數二階線性微分方程的構造和概念進行詳細闡述，隨后列舉一個變系數二階線性微分方程的例子進行關于降階法的詳細解法指導。

1 變系數二階線性微分方程的應用

隨著信息技術的快速發展，數學知識越來越多地被應用到這些信息技術領域。無論在電力網絡，交通運輸業，電子技術，工程造價，化學，自動運輸網，生物學，建筑工程，數字通訊網中，還是簡單的日常生活，利用數學知識解決現實生活問題的現象已經越來越廣泛。

從古至今，人們對解答微分方程的問題已經深有研究，針對變系數二階線性微分方程也有一定的解決方法。但是，由于是二階的微分方程，計算量很大，冪的次數較高，所以解決的時候會比較麻煩。而降階法的運用在解決變系數二階線性微分方程中還是較為方便快捷的。用降階法解決這類問題，最關鍵的是要把二階線性微分方程如何轉化為一階線性微分方程，當然之前也要了解這個方程能否可以進行降階轉化。

此外，數學的其他分支與變系數二階線性微分方程也是有密切關系的，二者可以互相促進，共同發展。眾所周知，在數學學習過程中，幾何學的解決很多就要用到變系數二階線性微分方程的知識，所以說，變系數二階線性微分方程的進步發展與完善，對于幾何學來說也是至關重要的；在另一個角度說，也就是，變系數二階線性微分方程的發展可以有力地促進數學領域其他分支的進步。

2 一種求解變系數二階線性微分方程的方法

利用變量替換法可以使方程降價進行求解，利用這種方法解決變系數二階線性微分方程也是可以的。例如下面這個方程：

+ （） + （） = 0……………………………A

設其中的非零特解1是已知的，并讓1作替換變量，

令1 = 1……………………………………………B

其中，為未知的函數，求導為

= 1 +

求二階導數可得：

= 1 + 2 +

帶入式可得：

1 +（2 + （）1） + （ + （） + （）1） = 0…………………………………………………C

易知，這是一個關于的二階線性齊次方程，每一項系數都為x的已知函數，因為是式的解，所以其中的

+ （） + （）1 = 0

所以，式可以轉化為

1 +（2 + （）1） = 0

替換變量，使得 = ，由此可得：

1 + （2 + （）1） = 0

下一步，分離變量，可得：

= -[ + （）]

兩邊積分，得到通解：

=

其中，為任意一個常數。再一次進行積分運算得：

= +

帶回原來的變量得到式的通解：

= [ + ]

這個公式是二階線性齊次方程式中的一種公式，對于這類方程，解答的過程中采用降價法，已知一個非零特解，通過兩次轉變之后，就可以把二階線性微分方程轉化成一階形式，這樣就可以求得通解。當然，對于非齊次微方程，運用這種方法解決也是可以的，知道了一個特解就可以做出方程轉化，進行降價，這種轉變并不影響方程的結構。

其實，所有的系數微方程都是可以解決的，但是，對于變系數二階線性微分方程來說，由于計算量比較大，除了近似的解法之外，還沒有發現更為普遍的解決方法。所以說，發現一種較為簡便的方法是十分必要的。

綜上所述，常系數微方程在數學研究領域占有十分重要的地位，變系數二階線性微分方程在自然科學、物理學等科學技術領域的應用也是非常廣泛的。運用降階法解決這類問題是比較有效的，加大對變系數二階線性微分方程的研究力度，尋求更為便捷的解決方式，不僅對于數學研究和其他數學分支的進一步發展有重要意義，而且可以對其他相關領域的研究進步做出更大的貢獻。可以說，二階變系數線性微方程已經取得了很大的成就，但是，這些并不能滿足相關研究領域的需要，還需要我們繼續付出更大的努力，尋求更好的解決方法，促進這一學科的完善，使得我國這方面的成就躋身于世界數學研究的巔峰之上。

參考文獻

[1] 夏敦行.二階變系數線性微方程方程的解法[D].武漢:武漢科技大學，2009.

[2] 權大學，趙臨龍.變系數二階線性微分方程一個新的可解類型再討論[J].大學數學，2007(6):121-124.