三重積分的柱面坐標(biāo)計算法

摘 要 三重積分的計算是高等數(shù)學(xué)的難點，本文分析了三重積分的柱面坐標(biāo)計算法，研究在柱面坐標(biāo)系下如何確定積分限，從而計算三重積分。

關(guān)鍵詞 三重積分 柱面坐標(biāo) 積分區(qū)域 投影

中圖分類號：O172.2 文獻標(biāo)識碼：A

0 引言

三重積分的計算是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難點，計算三重積分即要將它化為三次積分，其基本方法有直角坐標(biāo)法、柱面坐標(biāo)法與球面坐標(biāo)法，三種坐標(biāo)法在處理特定區(qū)域中有各自的優(yōu)勢，確定積分限是其中的關(guān)鍵，選擇正確的基本方法可以使積分計算可行和運算簡捷，與球面坐標(biāo)法不同，柱面坐標(biāo)法解題的思維方式與直角坐標(biāo)法的思維方式相似。本文擬探討文獻[1，2]中柱面坐標(biāo)法下的三重積分計算，分析適宜用柱面坐標(biāo)法解決的問題及處理方法。

1 柱面坐標(biāo)系下積分限的確定

掌握三重積分柱面坐標(biāo)法的計算要用到許多其它的知識，如空間解析幾何里的曲面辨識和草圖描繪及空間區(qū)域在坐標(biāo)面上的投影、積分里的湊微分法與分部積分法、二重積分里的極坐標(biāo)法，還有就是三重積分直角坐標(biāo)法，這些內(nèi)容的掌握熟練程度極大地影響柱面坐標(biāo)法的學(xué)習(xí)，學(xué)生在學(xué)習(xí)中感到困難，或許與這些內(nèi)容的掌握程度有關(guān)。在文獻[1，2]中，當(dāng)某個三重積分適宜用柱面坐標(biāo)法計算時，其積分區(qū)域€%R往往是圓錐面、旋轉(zhuǎn)拋物面、球面或者垂直于軸的平面所圍成的立體，這些曲面的共同特征是含有 + ，而被積函數(shù)形如 （ + ），積分區(qū)域€%R在面上的投影是圓域或是圓域的一部分，求解此類問題時，我們?nèi)砸凑罩苯亲鴺?biāo)法計算三重積分的思想來考慮，即確定積分區(qū)域€%R的上邊界曲面 = （ ， ）與下邊界曲面 = （ ， ），用極坐標(biāo)變換公式 = ， = 將其轉(zhuǎn)化為 = （ ， ）= （ ， ）， = （ ， ）= （ ， ），一般情況下，轉(zhuǎn)換后僅含有，即 = （）， = （），這樣柱面坐標(biāo)下的變動范圍就能確定，即（）≤≤（），而與的取值范圍可以通過分析積分區(qū)域€%R在面上的投影區(qū)域，按照極坐標(biāo)計算二重積分的方法確定，這樣柱面坐標(biāo)下三次積分的各個積分限就能確定，進而計算三重積分。

2 實例分析

例1 計算 = ，其中€%R是由曲面 = 及 = + 所圍成。

分析：積分區(qū)域的上邊界曲面是 = ，寫成極坐標(biāo)形式是 = ，下邊界曲面是 = + ，寫成極坐標(biāo)形式是 = ，所以的取值范圍是≤≤，積分區(qū)域在面上的投影是 + ≤1，寫成極坐標(biāo)為0≤≤2，0≤≤1。

解：積分區(qū)域€%R可以表示為

{0≤≤2，0≤≤1，≤≤}，

所以 = = 2 （2） = 。

例2 求上半球面 = 與旋轉(zhuǎn)拋物面 + = 4所圍立體的體積。

分析：所圍立體的上邊界曲面 = ，寫成極坐標(biāo)形式是 = ，下邊界曲面 + = 4，寫成極坐標(biāo)形式是 = ，所以的取值范圍是≤≤，積分區(qū)域在面上的投影是 + ≤4，寫成極坐標(biāo)為0≤≤2，0≤≤2。

解：積分區(qū)域€%R可以表示為

{0≤≤2，0≤≤2，≤≤}，

所以 = = 2 （） = （54）。

大多數(shù)情況下，適宜用柱面坐標(biāo)法解決的三重積分應(yīng)用柱面坐標(biāo)法計算時，計算量都不會很大。

三重積分中適用柱面坐標(biāo)法的問題也可以用直角坐標(biāo)法里的“先一后二法”轉(zhuǎn)換成二重積分后，再用極坐標(biāo)法解出，例如上面的例2有下面的解法。

（下轉(zhuǎn)第205頁）（上接第197頁）

= = = （）= （） = （54）。

從上面的實例可以看出，只要掌握柱面坐標(biāo)法的基本方法以及應(yīng)用柱面坐標(biāo)法時要應(yīng)用到的與之有關(guān)的知識，柱面坐標(biāo)法是完全可以學(xué)好的，另一方面通過柱面坐標(biāo)法的學(xué)習(xí)可以反過來更清晰地理解二重積分的極坐標(biāo)法和三重積分的直角坐標(biāo)法。